Một số phân phối liên tục quan trọng -1

Một số phân phối liên tục quan trọng1. Phân phối đều Định nghĩa 1.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, b] nếu hàm mật độ của nó có dạng:Hàm phân phối của X có dạngVí dụ 1.2. Bắt đầu từ 7h, cứ 15phút lại có một chuyến xe bus dừng tại bến. Giả sử một hành khách đến bến ngẫu nhiên trong khoảng thời gian từ 7h đến 7h30. Tính xác suất để hành khách đó phải chờ cho đến khi có xe không quá 5 phút; nhiều hơn 10 phút. Giải....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phân phối liên tục quan trọng -1 Một số phân phối liên tục quan trọng1. Phân phối đềuĐịnh nghĩa 1.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, b]nếu hàm mật độ của nó có dạng:Hàm phân phối của X có dạngVí dụ 1.2. Bắt đầu từ 7h, cứ 15phút lại có một chuyến xe bus dừng tại bến. Giả sửmột hành khách đến bến ngẫu nhiên trong khoảng thời gian từ 7h đến 7h30. Tínhxác suất để hành khách đó phải chờ cho đến khi có xe không quá 5 phút; nhiềuhơn 10 phút.Giải. Ký hiệu X là khoảng thời gian tính từ 7h đến thời điểm khách tới bến. Vì Xcó phân phối đều trên (0, 30) nên hành khách đó phải chờ không quá 5 phút nếuanh ta đến bến trong khoảng thời gian từ 7h10 đến 7h15 hoặc trong khoảng thờigian từ 7h25 đến 7h30. VậyP(chờ không quá 5 phút) = P(10 < X < 15) + P(25 < X < 30)Tương tự, hành khách đó phải chờ nhiều hơn 10 phút nếu anh ta đến bến trongkhoảng thời gian từ 7h đến 7h05 hoặc trong khoảng thời gian từ 7h15 đến 7h20.VậyP(chờ nhiều hơn 10 phút) = P(0 < X < 5) + P(15 < X < 20) = Định lý 1.3. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a, b] thìE(X) = Chứng minh. Ta cóTừ đó,2. Phân phối mũĐịnh nghĩa 2.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ tham số nếuhàm mật độ của nó có dạngHàm phân phối của X có dạngMột tính chất quan trọng của phân phối mũ l à tính chất không nhớ. Ta nói biếnngẫu nhiên không âm X không nhớ nếu với mọi s, t ta cóhoặc tương đươngP(X > s + t) = P(X > s). P(X > t).Đẳng thức trên đúng nếu X có phân phối mũ Định lý 2.2. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ tham số thìE(X) = Chứng minh. Ta cóTừ đó,Ví dụ 2.3. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ tham số Tính kỳ vọngvà độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên Y = .Giải. Hàm mật độ của X là Từ đó suy ra và3. Phân phối chuẩnĐịnh nghĩa 3.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn tổng quáttham số a, s2 , ký hiệu N(a,s2) nếu hàm mật độ của nó có dạng: ,xĐồ thị của hàm mật độ chuẩn có dạng hình quả chuông (xem hình bên)* Trường hợp đặc biệt khi a = 0, s = 1, hàm mật độ của X có dạng:và hàm phân phối với x Î R.Khi đó, X được gọi là có phân phối chuẩn tắc, ký hiệu N(0, 1).Với x > 0, các giá trị của hàm F(x) được tính gần đúng trong cho trong bảng N(0,1) (xem cuối sách giáo khoa). Với x < 0, sử dụng tính chất F(- x) = 1 - F(x).Mệnh đề 3.2. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn dạng N(a,s2) thìi1. Biến ngẫu nhiên Z = có phân phối chuẩn dạng N(0;1). i2. P[a < X < b] = (Ví dụ 3.3. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(3, 9). Tính P(2 < X <5); P(X > 0) vàGiải. Ta có a = 3 và . Từ đó