Một số phân phối rời rạc quan trọng - 1

Một số phân phối rời rạc quan trọng1. Phân phối nhị thức. Định nghĩa 1.1. Xét dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công trong mỗi phép thử là p. Ký hiệu X là số lần “thành công” xuất hiện trong dãy n phép thử. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số (n, p), ký hiệu B(n, p) vớipX(k) = P(X = k) =; k = 0, 1,..., nVí dụ 1.2. Gieo liên tiếp ba lần đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là số lần xuất hiện...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phân phối rời rạc quan trọng - 1 Một số phân phối rời rạc quan trọng1. Phân phối nhị thức.Định nghĩa 1.1. Xét dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công trong mỗiphép thử là p. Ký hiệu X là số lần “thành công” xuất hiện trong dãy n phép thử.Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số (n, p), ký hiệuB(n, p) vớipX(k) = P(X = k) = ; k = 0, 1,..., nVí dụ 1.2. Gieo liên tiếp ba lần đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là số lần xuấthiện mặt sấp trong 3 lần gieo. Tìm phân phối xác suất của X. Tính xác suất đểtrong 3 lần gieo có nhiều nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp.Giải. Coi việc gieo 3 lần đồng xu như tiến hành 3 phép thử Bernoulli với xác suấtxuất hiện mặt sấp là p = . Vậy X có phân phối nhị thức tham số n = 3, p = ,nghĩa làP(X = k) =hay dưới dạng bảngX 0 1 2 3P* Xác suất cần tìm làP(X £ 1) = P[X = 0] + P[X = 1] =Định lý 1.3. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p) thìE(X) = np và D(X) = np(1-p)Chứng minh. Trước hết ta đi xác định momen gốc bậc k của X. Ta cóĐặt j = i -1 ta nhận được ,ở đó Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n – 1, p).Vậy khi cho k = 1 ta nhận được EX = np. Cho k = 2 ta cóTừ đó,2. Phân phối Poisson.Định nghĩa 2.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số l> 0 nếu phân phối xác suất của nó có dạng:P(X = k) = , k = 0, 1, 2,….Trong thực tiễn, có nhiều biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poisson, chẳnghạn* Số lỗi trong trang của một quyển sách.* Số khách hàng vào một ngân hàng ở ngày nào đó.Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnhvực vì chúng có thể được dùng như một xấp xỉ của biến ngẫu nhiên có phân phốinhị thức B(n, p) khi n lớn và p đủ nhỏ sao cho np có kích thước vừa phải. Thậtvậy, giả sử X có phân phối nhị thức B(n, p) thìPn(k) = P(X = k) = =Donên ta nhận được ,hay X có xấp xỉ phân phối Poisson tham số l = np.Ví dụ 2.2. Một trường học có 500 học sinh. Tính xác suất để trong trường có nhiềunhất 5 học sinh có cùng ngày sinh nhật là ngày 1/5.Giải. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số học sinh có ngày sinh nhật là ngày 1/5 thì Xcó phân phối nhị thức , nghĩ a là , k = 0, 1, 2,…, 500.Vậy .Việc tính toán tiếp tục ở đay khó khăn. Tuy nhiên áp dụng xấp xỉ trên, ta coi X cóxấp xỉ phân phối Poisson tham số thì .Định lý 2.3. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poison tham số thì