Một số phân phối rời rạc quan trọng - 2

Trước hết ta xét một ví dụ sau Ví dụ 3.1. Xét dãy phép thử độc lập G1, G2, … sao cho mỗi phép thử Gi tương ứng với không gian biến cố sơ cấp W = {A, }. Giả sử xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phép thử cần thiết để lần đầu tiên biến cố A xuất hiện. Tìm phân phối xác suất của X. Giải. Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 1, 2, 3,…, n,…Ta thấy X = k nếu...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phân phối rời rạc quan trọng - 2E(X) = D(X) =Chứng minh. Ta cóTừ đó suy ra D(X) = .3. Phân phối hình họcTrước hết ta xét một ví dụ sauVí dụ 3.1. Xét dãy phép thử độc lập G1, G2, … sao cho mỗi phép thử Gi tương ứngvới không gian biến cố sơ cấp W = {A, }. Giả sử xác suất xuất hiện biến cố Atrong mỗi phép thử bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phép thử cần thiết đểlần đầu tiên biến cố A xuất hiện. Tìm phân phối xác suất của X.Giải. Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 1, 2, 3,…, n,…Ta thấy X = k nếu trong(k – 1) phép thử đầu tiên, biến cố xuất hiện còn ở phép thử thứ k, biến cố Axuất hiện. Từ đó, phân phối xác suất của X làP(X = k) = (1- p)k-1p, k = 1, 2,….Định nghĩa 3.2. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối hình học tham số p nếuphân phối xác suất của nó có dạng:P(X = k) = (1 – p)k-1p, k = 1, 2,….Ví dụ 3.3. Bắn liên tiếp, độc lập vào 1 mục tiêu cho tới khi nào trúng mục tiêu thìdừng bắn. Xác suất để mỗi viên đạn trúng mục tiêu là 0,2. Gọi X là số viên đạncần bắn để lần đầu tiên trúng bia. Tìm phân phối xác suất của X.Giải. Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p = 0,2. Từ đó, phânphối xác suất của X làP(X = k) = , k = 1,2,…Định lý 3.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối hình học tham số p thìE(X) = và D(X) =Chứng minh. Đặt q = 1 – p thìTừ đó suy ra D(X) = .4. Phân phối siêu bộiTrước hết ta xét ví dụ sauVí dụ 4.1. Một lô sản phẩm gồm N sản phẩm, trong đó có M sản phẩm tốt v à N -M phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm. Tìm xác suất để trong nsản phẩm lấy ra có đúng k sản phẩm tốt.Giải. Gọi X là số sản phẩm tốt trong n sản phẩm lấy ra. Ta cóP( X = k) = , k = 0, 1, 2,...,nĐịnh nghĩa 4.2. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham sốn, N, M nếu phân phối xác suất của nó có dạng:P(X = k) = = q(N, M, n, k), k = 1, 2,…,nĐịnh lí 4.3. Nếu n cố định, còn N tăng lên vô hạn và tỉ số tiến tới p (0 < p < 1)thì phân phối siêu bội q(N, M, n, k) tiến tới phân phối nhị thức Pn(k) = khi N ® ¥.Chứng minh. Theo giả thiết . Ta có P(X = k) = = =Định lý 4.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội tham số n, N, M thì vớiE(X) = và D(X) =Chứng minh. Ta cóDo nên với Y là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội tham số n -1, N – 1, M – 1.Vậy ; và từ đó với =