MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM CỰC TRỊ

.Phương pháp đánh giá tổng các phân thức: Phương pháp này người ta còn gọi là phương pháp xét biểu thức phụ.Sau đây là bài toán tiêu biểu cho phương pháp trên. Bài toán 1: Cho a,b,c,d dương. CMR a b c 3 1. + + ≥ ( BĐT Nesbit với n=3) b+c c+a a+b 2 a b c d 2. + + + ≥ 2
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM CỰC TRỊ www.Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Online MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM CỰC TRỊ (tt) NGUYỂN ANH KHOA THPT Lê Khiết, Thành phố Quảng Ngãi Email:anhkhoa_lk12@yahoo.com Nick name: anhkhoa_lk12I.Phương pháp đánh giá tổng các phân thức:Phương pháp này người ta còn gọi là phương pháp xét biểu thức phụ.Sau đây là bài toán tiêu biểu chophương pháp trên. nBài toán 1: Cho a,b,c,d dương. CMR a b c 3 .v 1. + + ≥ ( BĐT Nesbit với n=3) b+c c+a a+b 2 a b c d 2. + + + ≥ 2 ( BĐT Nesbit với n=4) h b+c c+d d +a a +b GIẢI 4 Ý tưởng để giải bài toán này ta xét các biểu thức phụ có tính hoán vị. a b c 3 b c a c a b1. Đặt A= + + ≥ ;B = + + ;C = + + 2 b+c a +c a+b 2 b+c c+a a+b b+c c+a a+bKhi đó ta có được B+C=3. Mặt khác c a +b b+c a+c A+ B = + + ≥3 o b+c a+c a+b a+c b+a b+c A+C = + + ≥3 ih b+c c+a b+a 3Do đó 2 A + B + C ≥ 6 ⇒ A ≥ ( đpcm) 2 u a b c d b c d a c d a b2. Đặt A = + + + ;B = + + + ;C = + + + b+c c+d d +a a+b b+c c+d d +a a+b b+c c+d d +a a +b VKhi đó B+C=4. Lại có a +b b+c c+d d +a A+ B = + + + ≥4 b+c c+d d +a a +b a+c b+d c+a b+d 4(a + c) 4(b + d ) A+C = + + + ≥ + =4 b+c c+d d +a a +b a+b+c+d a+b+c+dDo đó 2 A + B + C ≥ 8 ⇒ A ≥ 2 ( đpcm)LB: Cách giải như trên khá hay, nhưng cách giải đó chỉ mới xuất hiện mà thôi . Hầu như các sách vềBĐT hiện nay điều sử dụng cách giải này.Bài toán 2: Cho a,b,c dương. CMR a2 b2 c2 a+b+c 1. + + ≥ a +b b+c c+a 2 www.VNMATH.com 2. a2 + a +b b+c c+a b2 + c2 ≥ (4 2 a 2 + b2 + b2 + c 2 + c2 + a2) GIẢI a2 b2 c2 b2 c2 a21. Đặt P = + + ;Q = + + . Khi đó ta có a+b b+c c+a a+b b+c c+a a 2 − b2 b2 − c2 c 2 − a 2 P −Q = + + = a −b +b−c + c − a = 0 a+b b+c c+a P+QDo đó P = Q = . BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau 2 1  a 2 + b2 b2 + c 2 c2 + a 2  a + b + c  + + ≥ 2 a +b b+c c+a  2 a 2 + b2 a + bTa sử dụng BĐT phụ 2 ( a + b ) ≥ ( a + b ) ⇔ ≥ 2 2 2 n a+b 2Tương tự ta xây dựng các BĐT còn lại, sau đó cộng lại ta được đpcm. .v2. Cũng như câu 1 ta chuyển BĐT cần chứng minh về dạng 1  a 2 + b2 b2 + c 2 c2 + a2   2 a +b + b+c + c+a  4  ...