Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hoán vị

Bất đẳng thức là một vấn đề khó, thường xuyên xuất hiện với tư cách là câu phân loại trong đề thi học sinh giỏi THPT. Hiện nay đã có nhiều phương pháp mạnh để xử lí các bài toán về bất đẳng thức đối xứng, tuy nhiên lại chưa có nhiều công cụ mạnh như thế khi xử lí bất đẳng thức hoán vị. Trong bài viết này, tôi xin chia sẻ một số hướng tiếp cận để chứng minh các bất đẳng thức hoán vị ba biến. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hoán vị Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THƯC HOÁN VỊ Lê Văn Lâm THPT Hoằng Hóa 3, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Bất đẳng thức là một vấn đề khó, thường xuyên xuất hiện với tư cách là câu phân loạitrong đề thi học sinh giỏi THPT. Hiện nay đã có nhiều phương pháp mạnh để xử lí cácbài toán về bất đẳng thức đối xứng, tuy nhiên lại chưa có nhiều công cụ mạnh như thếkhi xử lí bất đẳng thức hoán vị. Trong bài viết này, tôi xin chia sẻ một số hướng tiếp cậnđể chứng minh các bất đẳng thức hoán vị ba biến.1 Dùng phần tử cực hạn và sắp thứ tự các biến Nội dung: Bất đẳng thức hoán vị với 3 biến a, b, c ta có thể giả sử một trong 3 biến làgiá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất hoặc giả sử một biến nằm giữa hai biến. Khi đó ta sẽ thuđược các đánh giá không âm từ biểu thức hiệu các biến a, b, c.Ví dụ 1.1. Cho a, b, c các số thực không âm. Chứng minh rằng √ ( a + b + c )3 ≥ 6 3 ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) (1.1)Lời giải. Nhận thấy bất đẳng thức hoán vị đối với các biến a, b, c nên không mất tínhtổng quát ta giả sử a = max { a; b; c}. - Trường hợp 1. a ≥ b ≥ c.Ta có : VT(1.1) ≥ 0 ≥ VP(1.1) nên bất đẳng thức đúng. - Trường hợp 2. a ≥ c ≥ b. Ta có (1.1) ⇔ ( a + b + c)6 ≥ 108[( a − b) (b − c) (c − a)]2 (1.2)Mà [( a − b) (b − c) (c − a)]2 = [( a − b) (c − b) ( a − c)]2 ≤ ( a − c)2 a2 c2 (1.3)Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có 4( a − c)2 a2 c2 = ( a − c)2 .2ac.2ac ≤h i3 ( a − c)2 + 2ac + 2ac ( a + c )6 = nên 27 27 ( a + c )6 ( a + b + c )6 ( a − c )2 a2 c2 ≤ ≤ (1.4) 108 108 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Kết hợp (2.4) và (1.4) ta có (1.2) đúng nên (1.1) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0.Ví dụ 1.2. Cho a, b, c các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a b c + + ≤ 1. (1.5) a+b+1 b+c+1 c+a+1Lời giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với a b c + + ≤ 1 ⇔ a2 b + b2 c + c2 a + abc ≤ 4. (1.6) 4−c 4−a 4−bNhận thấy bất đẳng thức hoán vị đối với các biến a, b, c nên không mất tính tổng quát tagiả sử c nằm giữa a và b. Khi đó a ( a − c) (b − c) ≤ 0 ⇔ a2 b + c2 a ≤ a2 c + abc ⇔ a2 b + b2 c + c2 a + abc ≤ a2 c + 1b2 c + 2abc ⇔ a2 b + b2 c + c2 a + abc ≤ c( a + b)2 Mà c( a + b)2 = .2c ( a + b) ( a + b) ≤ 2(2c + a + b + a + b)3 = 4. 2.27 Kết hợp ta có (1.6) đúng nên (1.5) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.2 Dùng phân tích bình phương và đánh giá sau phântích Nội dung: Bất đẳng thức hoán vị với 3 biến a, b, c ta có thể biến đổi về dạng: S a ( b − c )2 + Sb ( c − a )2 + Sc ( a − b )2 ≥ S ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) . (2.1) Khi đó để chứng minh bất đẳng thức ban đầu ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (2.6)bằng các đánh giá cho Sa ; Sb ; Sc ; S. Nếu S ( a − b) (b − c) (c − a) ≤ 0 thì ta chứng minh Sa (b − c)2 + Sb (c − a)2 + Sc ( a − b)2 ≥ 0 bằng biến đổi, đánh giá. Nếu S ( a − b) (b − c) (c − a) ≥ 0 thì ta chứng minh bằng cách xây dựng các tiêu chuẩncho Sa ; Sb ; Sc ; S.Ví dụ 2.1. Cho a, b, c các số thực không âm và ab + bc + ca 6= 0. Chứng minh rằng a2 b + b2 c + c2 a a3 + b3 + c3 + 3abc. ≥ a2 b + b2 c + c2 a + ab2 + bc2 + ca2 (2.2) ab2 + bc2 + ca2Lời giải. a2 b + b2 c + c2 a (??)l ⇔ a3 + b3 + c3 − 3abc + 3abc −1 ≥ ab ( a + b) + bc (b ...