Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực_Hồ Đình Sinh

Tham khảo tài liệu một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực_hồ đình sinh, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực_Hồ Đình SinhMATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Hồ Đình SinhI. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng phương pháp này.Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương: ìx + y + z = 3 ï í ( ) 3 ï(1 + x )(1 + y)(1 + z ) = 1 + xyz 3 î ( ) 3Giải: VT = 1 + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz ³ 1 + 3 3 xyz + 3 3 ( xyz)2 + xyz = 1 + 3 xyz Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1.Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ì x +1 + x + 3 + x + 5 = y -1 + y - 3 + y - 5 ï í ï x + y + x + y = 80 2 2 îGiải: ĐK: x ³ -1;y ³ 5Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trườnghợp sau:Nếu x>y-6 thì VT>VP.Nếu xMATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSG 1 2x 4y 2z = + + x +1 x +1 y +1 z +1 1 3x 3y 2z = + + y +1 x +1 y +1 z +1 1 3x 4y z = + + z +1 x +1 y +1 z +1Áp dụng Cauchy cho 8 số ta có: 1 x 2 y4 z2 ³ 88 x +1 ( x + 1)2 ( y + 1)4 ( z + 1)2 1 x 3 y3 z2 ³ 88 y +1 ( x + 1)3 ( y + 1)3 ( z + 1)2 1 x3 y4 z ³ 88 z +1 ( x + 1) 3 ( y + 1)4 ( z + 1)1Suy ra 1 1 1 x 24 y 32 z16 ³ 89 8(1 + x ) ( y + 1) ( z + 1) ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) 3 4 2 24 32 16Þ 89 x 3 y 4 z 2 £ 1 x y z 1 1Dấu bằng xảy ra Û = = = Ûx=y=z= . x +1 y +1 z +1 9 8Ví dụ 4: Giải hệ ì 4 697 ïx + y = 2 í 81 ï x + y + xy - 3 x - 4 y + 4 = 0 2 2 îGiải:Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x;y nhờ điều kiện cónghiệm của tam thức bậc 2.Xét phương trình bậc 2 theo x:x 2 + x ( y - 3) + y 2 - 4 y + 4 = 0D x = ( y - 3)2 - 4( y - 2)2 7Để phương trình có nghiệm thì D x ³ 0 Û 1 £ y £ . 3 4Tương tự xét phương trình bậc 2 theo y ta có: 0 £ x £ 3 4 2 æ4ö æ7ö 697Suy ra x + y £ ç ÷ + ç ÷ = 4 2 è3ø è3ø 81 4 7Þ x = ;y = Tuy nhiên thế vào hệ không thoả mãn dó đó hệ vô nghiệm. 3 3 ìx5 - x 4 + 2x2 y = 2 ï 5 íy - y + 2y z = 2 4 2Ví dụ 5: Giải hệ ïz5 - z 4 + 2z2 x = 2 îBiên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 2MATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSGGiải:Ý tưởng của bài toán này là đoán nghiệm của hệ x=y=z=1; Sau đó chứng minh x>1 hayx1 Þ 2 = z5 - z 4 - 2z2 x > z5 - z 4 + 2z2 Þ ( z - 1)( z 4 + 2 z + 2) < 0 2 æ 1ö 3Do z + 2 z + 2 = ç z 2 - ÷ + ( z + 1)2 + > 0 nên z1 Þ xMATHVN.COM Chuyên đề bồi dưỡng HSGì x 2 + y2 + z 2 = 1ïíï( x - y) - 2 z( x - y) + 1 = 0 2îTừ phương trình thứ nhất ta được: -1 £ z £ 1Từ phương trình thứ hai : x-y tồn tại Û z 2 - 1 ³ 0 Û z ³ 1Suy ra z = ±1 .Bài 9: Giải hệ ìx 2 = y + 1 ï 2 íy = z +1 ...