MỘT SỐ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC

Để làm rõ những đặc điểm cơ bản của mỗi quy luật phân phối xác suất ta sẽ xuất phát từ các ví dụ có tính điển hình cho mỗi quy luật để làm cở sở xây dựng những lược đồ khác nhau
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT SỐ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC MỘT SỐ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠCĐể làm rõ những đặc điểm cơ bản của mỗi quy luật phân phối xác suất tasẽ xuất phát từ các ví dụ có tính điển hình cho mỗi quy luật để làm cơ sởxây dựng những lược đồ khác nhau, từ đó đi đến các quy luật phân phốixác suất tương ứng với mỗi lược đồ.Giả sử một tập hợp N phần tử. Trong đó có M phân tử mang tính chất Bnào đó, còn N-M phần tử không mang tính chất B. Mỗi phép thử là việclấy ngẫu nhiên từ tập hợp ra một phần tử. Theo những cách lấy khác nhausẽ dẫn đến những lược đồ khác nhau và các quy luật phân phối xác suấtkhác nhau.Trong phần này ta sẽ nghiên cứu một số quy luật phân phối xác suấtthường gặp nhất đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.Điều đó làm cho việc phân loại các đại lượng ngẫu nhiên trong thực tếtheo các quy luật phân phối xác suất được dễ dàng hơn.4.1. Quy luật nhị thức B(n, p)a) Bài toán:Từ tập hợp gồm N phần tử trong đó có M phần tử có tính chất B nào đó,còn N-M phần tử không có tính chất B, ta lấy ngẫu nhiên có hoàn lại nphần tử. Nếu lấy theo phương thức này thì n phép thử nói trên sẽ độc lậpvới nhau vì việc lấy được phần tử có tính chất B, hay không có tính chấtB trong mỗi lần lấy không ảnh hưởng đến khả năng lấy được phần tử cótính chất B hay không có tính chất B ở các lần lấy khác. Trong mỗi lầnlấy chỉ có 2 trường hợp đối lập xảy ra. Hoặc biến cố A xảy ra (lấy đượcphấn tử có tính chất B) hoặc biến cố A không xảy ra (lấy được phần tửkhông có tính chất B).Xác suất cho biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng xácsuất cho biến cố A không xảy ra cũng đều bằngGọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử, thì X là đại lượngngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể có 0, 1, 2, …, n. Như đã chứngminh ở chương II, xác suất để X nhận các giá trị tương ứng được tínhbằng công thức Bernoulli: (1)b) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trịcó thể có (x = 0, 1, …, n;) với các xác suất tương ứng được tính theo côngthức (1) gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số là n và p.Quy luật nhị thức được ký hiệu là B(n, p)Nói cách khác, phân phối nhị thức gắn liền với việc lặp lại n lần mộtphép thử có hai sự kiện đối lập (thành công và thất bại; xảy ra và khôngxảy ra) với X là số lần thành công. Việc lặp lại ở đây có nghĩa là dãy phépthử được tiến hành trong cùng điều kiện và độc lập với nhau.Như vậy bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X phân phốitheo quy luật nhị thức có dạng:Trong thực tế, nhiều khi ta cần tính xác suất để đại lượng ngẫu nhiên Xphân phối theo quy luật nhị thức (ký hiệu là X ~ B(n, p)) nhận giá trị trongkhoảng [x, x + h] (với h nguyên dương và h ≤ n – x). Khi đó ta có thể tínhxác suất này theo công thức: (2) được tính theo công thức (1). Trong đó:Thật vậy biến cố (x ≤ X ≤ x + h) có thể tách thành tổng của h +1 biến cốxung khắc từng đôi là (X = x), (X = x +1), …, (X = x + h); do đó áp dụngđịnh lý cộng xác suất với các biến cố đó ta có: (3)Ví dụ 1:Gieo 4 hạt đậu, xác suất để 1 hạt cho cây ra hoa vàng là 0.75, rahoa trắng là 0.25. Số cây đậu ra hoa vàng X có phân phối nhị thứcB(4;0.75)Ta có:Ví dụ 2: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập, xác suất để trongmột ngày mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để:a) Trong một ngày có 2 máy hỏng.b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.Giải:Nếu coi sự hoạt động của mỗi máy là một phép thử, ta có 5 phép thử độclập. Trong mỗi phép thử chỉ có 2 trường hợp: hoặc máy hỏng hoặc không.Xác suất hỏng của mỗi máy đều bằng 0,1. Gọi X là số máy hỏng trongmột ngày thì X phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5, p =0,1 (tức là X ~ B(5; 0,1)).Do đó xác suất để trong một ngày có 2 máy hỏng là xác suất để X = 2.Theo công thức (3.2) ta có:Xác suất để trong ngày có không quá 2 máy hỏng là xác suất để X nhậngiá trị trong khoảng [0, 2]. Theo công thức (3.3) ta có:Vậy: P(0 ≤ X ≤ 2) = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144Ví dụ 3: Một học sinh làm bài trắc nghiệm có 100 câu, mỗi câu gồm có 4phương án lựa chọn, trong đó có 1 phương án trả lời đúng. Với một câu,nếu học sinh đó trả lời đúng thì được 1 điểm, ngược lại, sẽ không cóđiểm. Do học sinh đó lười học nên không nắm được bài, đã làm bài bằngcách chọn đại 1 phương án trả lời. Tìm xác suất để học sinh đó đạt đượckết quả (đạt 50 điểm trở lên)Học sinh thực hiện bài trắc nghiệm trên chính là đã thực hiện 100 phépthử Bernoulli, với xác suất thành công là 0.25. Gọi X là số điểm của họcsinh đó thì X ~ B(100;0.25)Tuy nhiên, ở đây ta không thể làm như ví dụ 2, vì xác suất của biến cốhọc sinh đạt kết quả tương đương với xác suất P( X ≥ 50). Vì việc liệt kêvà ...