Một thuật toán hiệu quả cho bài toán tìm cặp điểm khác màu gần nhất trong tập điểm hai màu trên mặt phẳng

Bài toán tập điểm hai màu trong mặt phẳng được phát biểu như sau : “Cho n điểm màu xanh và m điểm màu đỏ trên mặt phẳng, làm thế nào tìm được cặp điểm xanh – đỏ gần nhau nhất”. Việc xác định lời giải cho bài toán này có thể được thực hiện tương đối dễ dàng bằng thuật toán vét cạn – kiểm tra hết tất cả các cặp điểm khác màu. Tuy nhiên, trong bài báo này chúng tôi sẽ trình bày một thuật toán tốt hơn rất nhiều để giải quyết bài toán này. Công cụ chủ yếu được sử dụng trong thuật toán của chúng tôi là lược đồ Voronoi trên mặt phẳng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một thuật toán hiệu quả cho bài toán tìm cặp điểm khác màu gần nhất trong tập điểm hai màu trên mặt phẳngTaïp chí KHOA HOÏC ÑHSP TP.HCM Nguyeãn Ngoïc Trung, Traàn Thò Dieäu Huyeàn MỘT THUẬT TOÁN HIỆU QUẢ CHO BÀI TOÁN TÌM CẶP ĐIỂM KHÁC MÀU GẦN NHẤT TRONG TẬP ĐIỂM HAI MÀU TRÊN MẶT PHẲNG Nguyễn Ngọc Trung*, Trần Thị Diệu Huyền†1. Mở đầu Bài toán tìm cặp điểm khác màu gần nhất trong tập điểm hai màu trênmặt phẳng thuộc dạng các bài toán tìm các cặp điểm gần nhất trong mặt phẳng.Bài toán đặt ra là : “Cho n điểm màu xanh và m điểm màu đỏ trên mặt phẳng,làm thế nào tìm được cặp điểm xanh – đỏ gần nhau nhất”. Bài toán trên có thểđược giải một cách dễ dàng bằng cách lấy lần lượt từng cặp phần tử là các điểmxanh và và điểm đỏ, xác định khoảng cách giữa chúng và chọn ra cặp có khoảngcách nhỏ nhất. Thuật toán như vậy sẽ có độ phức tạp là O(n.m) trong đó n là sốđiểm xanh và m là số điểm đỏ trên mặt phẳng. Một câu hỏi được đặt ra là liệu cóthể xây dựng một thuật toán tốt hơn cho bài toán này ? Chúng ta thấy rằng, trong chuyên ngành hình học tính toán, lược đồVoronoi đóng một vai trò rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán tìmcác cặp điểm gần nhất trên mặt phẳng. Điều này cũng dễ hiểu vì lược đồ Voronoicó những tính chất rất đặc trưng về khoảng cách, điều mà rất hay được dùng đểrút ngắn thời gian tính toán, cũng như thời gian thực hiện các thuật toán giảinhững bài toán trên. Chính vì thế trong bài báo này, chúng tôi đã chọn lược đồVoronoi để làm công cụ xây dựng thuật toán giải bài toán tìm cặp điểm khác màugần nhất trong số tập điểm hai màu trên mặt phẳng. Cấu trúc bài báo như sau : mục 2 dành cho việc giới thiệu sơ lược về lượcđồ Voronoi và các tính chất của nó. Phần mô tả chi tiết về thuật toán giải quyếtbài toán sẽ được trình bày trong mục 3. Phần cuối của bài báo sẽ là một số chứng* ThS, Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM† CN, Sinh viên Khoa Toán – Tin học Trường ĐHSP Tp.HCM (Khoá 2001-2005)14Taïp chí KHOA HOÏC ÑHSP TP.HCM Soá 10 naêm 2007minh lí thuyết về tính đúng đắn cũng như những đánh giá về độ phức tạp củathuật toán.2. Lược đồ Voronoi và các tính chất Định nghĩa 2.1. Đặt P = {p1,p2, …, pn} là tập gồm n điểm trong mặtphẳng. Lược đồ Voronoi là sự phânchia mặt phẳng thành n vùng (cell),mỗi vùng chứa một điểm pi với tínhchất một điểm q nằm trong vùng tươngứng với pi nếu và chỉ nếu Hình 1. Lược đồ Voronoi của P = {p1, p2, …, p7}.dist(q, p i )  dist(q, p j ) , j  1 n . Trong đó, dist(q, p) là khoảng cách từ q đến p : dist(q, p)  q x  p x 2  q y  p y 2 Ta kí hiệu : Vor(P) là lược đồ Voronoi của P và V(pi) là vùng của Vor(P)tương ứng với điểm pi. Sau đây chúng ta sẽ giới thiệu một số tính chất quan trọng của lược đồVoronoi. Do khuôn khổ bài báo, chúng tôi sẽ không trình bày phần chứng minhcủa các tính chất này. Độc giả có thể tham khảo phần chứng minh của các tínhchất này trong [1]. Định lí 2.1. Cho P là tập gồm n điểm trong mặt phẳng. Nếu các điểm nàythẳng hàng, Vor(P) sẽ gồm (n – 1) đường thẳng song song. Ngược lại, Vor(P)liên thông và các cạnh của nó là đoạn thẳng hoặc nửa đường thẳng. Điều có ý nghĩa lớn nhất trong định lí trên là khi các điểm của P là khôngthẳng hàng với nhau thì trong lược đồ Vor(P) chỉ bao gồm tập các đoạn thẳnghoặc nửa đường thẳng chứ không thể có bất kì một đường thẳng (mở hai đầu)nào. Tính chất này giúp cho việc xây dựng cấu trúc dữ liệu để biểu diễn lược đồVor(P) được đơn giản đi rất nhiều. Dễ nhận thấy rằng, lược đồ Voronoi của tập điểm P được xây dựng từnhững đường trung trực của các đoạn thẳng nối các cặp đỉnh trong P và hơn nữa, 15Taïp chí KHOA HOÏC ÑHSP TP.HCM Nguyeãn Ngoïc Trung, Traàn Thò Dieäu Huyeàncác đỉnh của Vor(P) cũng sẽ là giao điểm của các đường trung trực này. Tuynhiên, không phải bất kì đường trung trực nào cũng là cạnh của Vor(P) và cũngkhông phải bất kì giao điểm nào của các đường trung trực trên cũng là đỉnh củaVor(P). Định lí sau đây sẽ cho ta thấy rõ hơn về nhận xét này.Định lí 2.2. Cho lược đồ Vor(P) của tập điểm P = {p1, p2, …, pn}. Khi đó : a. Một điểm q là đỉnh của Vor(P) nếu và chỉ nếu đường tròn rỗng lớn nhất có tâm là q – được gọi là CP(q) chứa ít nhất ba điểm của P trên biên. b. Đường trung trực của đoạn thẳng pipj là một cạnh của Vor(P) nếu và chỉ nếu có một điểm q trên đường trung trực này sao cho CP(q) đi qua p i, p j và không chứa bất kì trạm nào khác. CP(q) q q ...