Một tiêu chuẩn kiểm tra số vô tỉ và ứng dụng

Bài viết "Một tiêu chuẩn kiểm tra số vô tỉ và ứng dụng" đã xem xét bài toán tìm giới hạn của một số dãy tổng riêng. Một vấn đề đáng quan tâm là giới hạn của các dãy tổng riêng là số vô tỉ hay hữu tỉ. Bài báo này tập trung vào việc đưa ra tiêu chuẩn để một số thực là số vô tỉ, từ đó ứng dụng để xem xét giới hạn của các dãy tổng riêng và một số bài toán liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một tiêu chuẩn kiểm tra số vô tỉ và ứng dụng Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019MỘT TIÊU CHUẨN KIỂM TRA SỐ VÔ TỈ VÀ ỨNG DỤNG Phạm Văn Hoằng, Hội Toán học HN; Nguyễn Chí Quân, Lớp CLC, Khoa Toán, ĐHSP HN Tóm tắt nội dung Đặt vấn đề: Trong bài báo [1], chúng tôi đã xem xét bài toán tìm giới hạn của một sốdãy tổng riêng. Một vấn đề đáng quan tâm là giới hạn của các dãy tổng riêng là số vô tỉhay hữu tỉ. Bài báo này, chúng tôi tập trung vào việc đưa ra tiêu chuẩn để một số thực làsố vô tỉ, từ đó ứng dụng để xem xét giới hạn của các dãy tổng riêng và một số bài toánliên quan.1 Một số khái niệm Cho a là một số thực. Ta nói phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượtquá a, kiế hiệu là [ a]. Phần lẻ của a được xác định a − [ a], kí hiệu { a}. Như vậy, ta luôn có0 ≤ { a} < 1. Nếu 0 ≤ a < 1 thì { a} = a. Xét dãy số (un ), ta xét dãy tổng riêng (Sn ) được xây dựng như sau: Sn = u1 + u2 + +∞· · · + un . Nếu (Sn ) có giới hạn là c thì ta kí hiệu: u1 + u2 + · · · + un + · · · = ∑ ui . 1 Chẳng hạn, nếu un = u1 .qn , n = 1, 2 . . . thì với 0 < q < 1, ta có công thức tính tổng u1của cấp số nhân lùi vô hạn: u1 + u2 + .. + un + · · · = . 1−q +∞ +∞ Ta dễ thấy x ∑ ui = ∑ ( x.ui ). 1 12 Kết quả chính Ta có nhận xét như sau: Nếu a là số hữu tỉ thì luôn tồn tại số nguyên n sao cho{na} = 0. Câu hỏi đặt ra là nếu a là số vô tỉ thì có tồn tại n nguyên sao cho {na} = 0?Bài toán 2.1. Cho α là số vô tỉ. Với e > 0 tùy ý, luôn tồn tại n sao cho 0 < {nα} < e.Chứng minh. Xét khai triển thập phân của α α = A, a1 a2 . . . an .. 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Khai triển này là thập phân vô hạn không tuần hoàn. Theo nguyên lý Dirichle, với mỗi p, tồn tại i > j sao cho +∞ 9 2 0 < |{(10i − 10 j )α}| = |0, ai ai+1 . . . − 0, a j a j+1 . . .| < 2. ∑ 10 i = p 10 i = p +1 2Từ đó, với e > 0 bất kì, chọn n0 sao cho < e, ta sẽ thu được đpcm. 10n0Bài toán 2.2. Cho α là một số vô tỉ. tập {nα, n ∈ Z} là trù mật trong đoạn [0; 1]. Theo Bài toán 1, với e > 0 bất kì thì tồn tại n0 sao cho {n0 α} < e. |{nα} − { x }| < λ. Giả sử {nα} = c. Khi đó, k ∈ Z sao cho |{knα} − x | < c. Như vậy, ta cần chứng minh: ∀ε > 0 bất kì thì tồn tại n ∈ Z sao cho n0 α = k + c. Với x ∈ [0; 1] bất kì, ∃n1 ∈ Z sao cho n1 c ≤ x ≤ (n1 + 1)c ⇒ n1 c < 1. Khi đó, |{n1 n0 α} − x | = |{n1 k + n1 c} − x | = |n1 c − x | < c < e. ⇒ {nα} trù mật trên [0; 1]. Như vậy ta thấy một tính chất của số vô tỉ: {nα} có thể nhỏ tùy ý nhưng khác 0. Và ta có một kết quả mạnh hơn:Định lý 2.1. α là số vô tỉ ⇔ ∀e > 0, ∃n ∈ Z sao cho 0 < {nα} < e.Chứng minh,⇒: Giả sử α là số vô tỉ. Theo Bài toán 1, ta có ∀e > 0, ∃n ∈ Z sao cho 0 < {nα} < e. ⇔: Giả sử α là số thực thỏa mãn ∀e > 0, ∃n ∈ Z sao cho 0 < {nα} < e.Giả sử phản chứng α không là số vô tỉ, vậy α ∈ Q. Khi đó, tồn tại n ∈ N∗ sao cho nα ∈ Z. Khi đó, lấy 0 < ε < min{{α}, {2α}, . . . , {(n − 1)α}}, ta sẽ thấy được điều mâu thuẫn.Từ đó ta sẽ thu được điều phải chứng minh. Như vậy, ta thấy được thêm môt tính chất khác biệt nữa giữa số hữu tỉ và số vô tỉ.Đây có thể coi Định lí 1 như là một tiêu chuẩn để chứng minh giới hạn của một dãy tổngriêng là số vô tỉ hay số hữu tỉ.3 Một số ứng dụng3.1 Tính chất giới hạn dãy tổng riêng dạng nghịch đảoBài toán 3.1. Cho dãy số dương (un ) thỏa mãn tính chất u n +1 u 1 ∈ N∗ ; ∈ N∗ , n = 1, 2, 3, . . . ...