Nghiên cứu nghiệm ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số tuần hoàn bằng phương pháp phổ

Bài viết nghiên cứu và kiến thiết phương pháp đưa hệ đang xét về dạng một hệ phương trình vi phân với ma trận các hệ số gần như hằng số. Từ đó dùng phương pháp phổ và định lí Lyapunov để nghiên cứu về nghiệm ổn định tiệm cận của hệ phương trình đã cho. Để nắm nội dung mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiên cứu nghiệm ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số tuần hoàn bằng phương pháp phổTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINHHO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATIONTẠP CHÍ KHOA HỌCJOURNAL OF SCIENCEKHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆNATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGYISSN:1859-3100 Tập 14, Số 6 (2017): 157-164Vol. 14, No. 6 (2017): 157-164Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vnNGHIÊN CỨU NGHIỆM ỔN ĐỊNH TIỆM CẬNCỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNHCÓ HỆ SỐ TUẦN HOÀN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHỔNguyễn Việt Khoa*Trường Cao đẳng Sư phạm Kiên GiangNgày Tòa soạn nhận được bài: 01-11-2016; ngày phản biện đánh giá: 27-3-2017; ngày chấp nhận đăng: 19-6-2017TÓM TẮTTrong khuôn khổ nghiên cứu của bài báo, chúng tôi đặt vấn đề xét đến một hệ phương trìnhvi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn không ô-tô-nôm dạng:x  A  t  x ; x  0,    x0 ,(1)trong đó, x n; A  t   A0  A t  kk;  - tham số nhỏ; Ak  t  là các ma trận vuông trơnk 1tuần hoàn có chu kì T; t  [0;  ) . Nghiên cứu và kiến thiết phương pháp đưa hệ đang xét về dạngmột hệ phương trình vi phân với ma trận các hệ số gần như hằng số. Từ đó dùng phương pháp phổvà Định lí Lyapunov để nghiên cứu về nghiệm ổn định tiệm cận của hệ phương trình đã cho.Có thể nói đây là phương pháp rất hiệu quả và tiện lợi để nghiên cứu về nghiệm ổn định tiệmcận của hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng (1), khi mà ma trận A  t  có cấu trúc Jordan.Từ khóa: hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn, nghiệm ổn định tiệm cận,phương pháp phổ, phương pháp tách.ABSTRACTStudying the asymptotical stability substitution of the linear differential systemswith periodic coefficients on the basis of spectral methodIn the research content of the article, let us consider the linear differential equations systemwith periodically coefficients non-autonomous form:x  A  t  x ; x  0,    x0 ,where x n; A  t   A0  A t  kk;  - small parameter; Ak  t  are rather smooth in somek 1area    x | x  M , t  0 T-periodical square matrix; t  [0;  ) . The problem of search ofconditions, that are imposed on the matrix spectrum A0 is imposed, by which with the help of acertain algorithm it is possible to transform the old system (1) to a system of linear differentialmatrix equation of a simpler type, that enables us to formulate constructive conditions of stabilityor asymptotic stability of an isolated trivial solution of the system (1).*Email: khoa10111976@gmail.com157TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCMTập 14, Số 6 (2017): 157-164We can say that, it is a very effective and advantage method to research about theasymptotical stability substitution of the systems linear differential equations with the matrixA  t  , which is Jordan structure.Keywords: asymptotical stability substitution, spectral method, systems linear differentialequations with periodic coefficients, splitting method.1.Mở đầuXét hệ phương trình vi phân:dy   y, t dt y t   y ;00(2)yn; t  t0  .Định nghĩa 1.1.Nghiệm   t  của hệ (2) được gọi là ổn định (theo nghĩa Lyapunov) nếu   0 , đều  ( )  0 sao cho đối với nghiệm y  t  bất kì của hệ đó mà có giá trị ban đầu thỏa mãn:y  t0     t0    ( )(3)thì đối với t  t0 sẽ nghiệm đúng với bất đẳng thức:y t    t   (4)Định nghĩa 1.2.Nghiệm   t  của hệ (2) được gọi là ổn định tiệm cận (theo nghĩa Lyapunov) nếunhư cả hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:i/ Nghiệm   t  là ổn định;ii/ lim y  t     t   0 ,  y (t ) thỏa mãn (3) tại t  t0 .t Nhận xét 1.3. Bằng cách đổi biến x  t   y  t     t  , thì từ hệ (2) ta được:dxd   x   (t ), t   f  x, t dtdt f  0, t   0;xn(5); t  0Như vậy, việc khảo sát sự ổn định của nghiệm   t  của hệ (2) được quy về việc khảosát sự ổn định của nghiệm x  t   0 của hệ (5).158TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCMNguyễn Việt KhoaSau đây là một số kí hiệu được dùng trong bài báo:n  A  diag a11 ,..., ann  ; A  A  A , với ma trận vuông A  a jk1.dx; A* - ma trận Hermite (là chuyển vị của ma trận có phần tử liên hợp với phầndttử của A). x   Phổ 0 j2.n1của ma trận vuông A0 là tập các giá trị riêng của ma trận đó.Nội dung chínhXét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ô-tô-nôm dạng:x  A  t ,   x;xn;x  0,    x0 ;(6)t0 .Trong đó chuỗi ma trận A  t ,    A0   Ak  t   k hội tụ tuyệt đối đều theo t vàk 1epsilon với tham số  - đủ nhỏ; A0 là ma trận hằng số; các ma trận Ak  t  k  1là cácma trận vuông tuần hoàn có chu kì T; t  [0;  ) .Định lí 2.1.nNếu ma trận A0 có phổ là 0 j  thỏa mãn điều kiện:1 jk  0 j  0k  i 2 qT 1; j  k;(7)j , k  1, n; q  0, 1, 2,...thì với  đủ nhỏ, phép biến đổi khô ...