Nghiên cứu sử dụng hàm cơ sở bán kính Wendland cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson trong không gian ba chiều

Bài viết này trình bày kết quả nghiên cứu việc sử dụng nội suy hàm cơ sở bán kính Wendland để tính véc tơ trọng số cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson trong không gian 3 chiều. Kết quả thử nghiệm số cho thấy nghiệm của phương pháp RBF-FD sử dụng hàm Wendland có độ chính xác tốt so với nghiệm của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM - Finite Element Method).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nghiên cứu sử dụng hàm cơ sở bán kính Wendland cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson trong không gian ba chiều N. M. Tưởng, N. T. T. Giang, N. T. Nhung/ Nghiên cứu sử dụng hàm cơ sở bán kính Wendland ... NGHIÊN CỨU SỬ DỤNG HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH WENDLAND CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU Ngô Mạnh Tưởng, Nguyễn Thị Thanh Giang, Nguyễn Thị Nhung Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông, Đại học Thái Nguyên Ngày nhận bài 23/11/2021, ngày nhận đăng 17/12/2021 Tóm tắt: Trong những năm gần đây, phương pháp không lưới RBF-FD (Radial Basis Function -Finite Difference) giải phương trình đạo hàm riêng trong không gian 3 chiều đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Để tìm véc tơ trọng số RBF-FD, các tác giả đã sử dụng nội suy hàm cơ sở bán kính Power, không phụ thuộc vào tham số hình dạng. Bài báo này trình bày kết quả nghiên cứu việc sử dụng nội suy hàm cơ sở bán kính Wendland để tính véc tơ trọng số cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson trong không gian 3 chiều. Kết quả thử nghiệm số cho thấy nghiệm của phương pháp RBF-FD sử dụng hàm Wendland có độ chính xác tốt so với nghiệm của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM - Finite Element Method). Từ khóa: Phương pháp RBF-FD; trọng số RBF-FD; thuật toán dựa trên các góc khối; chọn giá véc tơ trọng số; thuật toán chọn tâm. 1 Giới thiệu Xét phương trình Poisson trong không gian 3 chiều với điều kiện biên Derichlet: Cho ¯ miền mở Ω ⊂ R3 và các hàm số f xác định trên Ω, g xác định trên ∂Ω. Tìm hàm u : Ω → R thỏa mãn Lu = f trong Ω, (1.1) u=g trên ∂Ω, (1.2) trong đó L là toán tử Laplace trong không gian 3 chiều. Bài toán (1.1)–(1.2) được rời rạc hóa bởi phương pháp sai phân như sau: Giả sử Θ ⊂ Ω l௠tập hữu hạn các tâm rời rạc. Gọi Θint := Θ ∩ Ω là các tâm nằm trong miền và ∂Θ := Θ ∩ ∂Ω là các tâm nằm trên biên. Với mỗi tâm ς ∈ Θint , chọn tập các tâm hỗ trợ phương pháp không lưới Θς : = {τ0 , τ1 , . . . , τk } ⊂ Θ, với τo = ς. Khi đó Bài toán (1.1)–(1.2) được rời rạc thành hệ phương trình ως,τ uτ = f (ς) , ˆ ς ∈ Θint , (1.3) τ ∈Θς u = g (τ ) , τ ∈ ∂Θ, (1.4) 1) Email:nmtuong@ictu.edu.vn (N. M. Tưởng) 70 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 4A/2021, tr. 70-80 với u là nghiệm xấp xỉ của u và ως,τ ∈ R là véc tơ trọng số được tìm bằng nội suy RBF. ˆ Để tìm nghiệm xấp xỉ u của bài toán (1.3)–(1.4) thì cần giải quyết 3 vấn đề: Cách tạo bộ ˆ tâm rời rạc Θ; Cách chọn tập các tâm hỗ trợ Θς , ς ∈ Θint ; Cách tính trọng số ως,τ ∈ R. Phương pháp RBF-FD là phương pháp không lưới sử dụng nội suy hàm cơ sở bán kính (RBF) tính véc tơ trọng số ως,τ ∈ R với cách tiếp cận địa phương, dựa trên sự rời rạc hóa giống như phương pháp sai phân hữu hạn để tính nghiệm xấp xỉ u tại một số điểm rời ˆ rạc trong miền Θint . Phương pháp không lưới RBF-FD được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 2003 bởi Tolstykh và Shirobokov [1] bằng việc sử dụng nội suy hàm cơ sở bán kính (RBF - Radial Basis Function) dựa trên cấu trúc điểm của phương pháp sai phân hữu hạn (FD-Finite Difference) giải bài toán elliptic trong không gian 2 chiều. Năm 2006, Wright và Fornberg [2] tiếp tục đề xuất phương pháp không lưới RBF-FD trong không gian 2 chiều sử dụng nội suy Hermite. Năm 2011, các tác giả Oleg Davydov và Đặng Thị Oanh [3], [4] đã đề xuất phương pháp RBF-FD đơn điểm, đa điểm và thuật toán chọn bộ tâm hỗ trợ tính véc tơ trọng số Θς , ς ∈ Θint , thuật toán sinh tập các tâm Θ thích nghi, thuật toán ước lượng tham số hình dạng cho nội suy RBF. Năm 2017, nhóm tác giả Đặng Thị Oanh, Oleg Davydov và Hoàng Xuân Phú [5] tiếp tục cải tiến các thuật toán chọn tâm hỗ trợ phương pháp không lưới Θς , ς ∈ Θint , thuật toán sinh bộ tâm Θ thích nghi cho các bài toán có hàm vế phải có kỳ dị và miền hình học phức tạp trong không gian 2 chiều. Các nghiên cứu gần đây [6 – 8], các tác giả đã giới thiệu các thuật toán chọn bộ tâm Θς , ς ∈ Θint hỗ trợ tính véc tơ trọng số cho phương pháp RBF-FD trong không gian 3 chiều. Đặc trưng của phương pháp RBF-FD là sử dụng nội suy hàm cơ sở bán kính RBF để tính véc tơ trọng số ως,τ ∈ R. Đối với các nghiên cứu trong không gian 2 chiều [3-5], các 2 2 tác giả đã sử dụng nội suy hàm Gauss RBF ϕ (r) = e−ε r , r = x 2 , x ∈ R2 , trong đó ε là tham số hình dạng và giới thiệu thuật toán tìm giá trị tham số tối ưu cho nội suy hàm RBF trong [4]. Trong không gian 3 chiều, các nghiên cứu [6-8] đã sử dụng hàm Power RBF ϕ (r) = r5 , r = x 2 , x ∈ R3 , ưu điểm của hàm Power RBF là không phụ thuộc vào tham số hình dạng. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu và thử nghiệm việc tính véc tơ trọng số ως,τ ∈ R bằng nội suy hàm Wendland RBF, đồng thời cũng cải tiến thuật toán dựa trên các Octant được đề xuất trong [6] để cải thiện độ chính xác của nghiệm xấp xỉ u của bài ˆ toán (1.3)–(1.4). Bài báo gồm 5 phần: Sau Phần giới thiệu là Phần 2 miêu tả nội suy RBF tính véc tơ trọng số RBF-FD; Phần 3 giới thiệu thuật toán chọn giá véc tơ trọng số; Phần 4 trình bày kết quả thử nghiệm số và Phần cuối là kết luận. 2 Nội suy RBF tính véc tơ trọng số RBF-FD Trong không gian 3 chiều ...