NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Định nghĩa:·Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y = F(x) là mộtnguyên hàm của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi F¢ (x) = f(x), "xÎ(a, b).·Nếu y = F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) thì tập hợp tất cả cácnguyên hàm của hàm số y = f(x) là tập hợp I = { F( x ) + c cÎ R} và tập hợpnày còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định I = ò f ( x )dx = F( x ) + c
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 1. Bài tập sử dụng công th ức nguyên hàm, tích phân CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂNI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊNH1. Định nghĩa:• Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng ( a, b), khi đó hàm s ố y = F(x) là một nguyên hàm c ủa hàm số y = f(x) khi và chỉ khi F′ (x) = f(x), ∀x∈(a, b).• Nếu y = F(x) là một nguyên hàm c ủa hàm s ố y = f(x) thì tập hợp tất c ả các nguyên hàm c ủa hàm số y = f(x) là tập hợp I = { F( x ) + c c ∈ R} và t ập hợp ∫ f ( x )dx = F( x ) + c này còn được kí hi ệu d ưới d ấu tích phân b ất đ ịnh I =2. Vi phân: Giả sử y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x∈(a,b).2.1Cho x một số gia ∆ x sao cho (x + ∆ x) ∈ (a,b), khi đó ta có:  dy = y ′ ( x ) ∆x • Công thức vi phân theo số gia :   df ( x ) = f ′ ( x ) ∆x • Công thức bi ến đ ổi vi phân: Chọn hàm số y = x ⇒ dy = dx = x’.∆ x = ∆ x ⇒ dx = ∆ x.  dy = y ′ ( x ) ∆x  dy = y ′ ( x ) dx   ⇔ Vậy ta có:   df ( x ) = f ′ ( x ) ∆x  df ( x ) = f ′ ( x ) dx  • N ếu hàm s ố f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại đi ểm x.Do df ( x ) = f ′ ( x ) ∆x nên f(x) khả vi tại điểm x ⇔ f(x) có đ ạo hàm tại đi ểm x Giả sử u và v là 2 hàm s ố cùng kh ả vi t ại đi ểm x. Khi đó:2.2.T ínhchất: () udv − vdu d ( u ± v ) = du ± dv ; d ( uv ) = udv + vdu ; d u = v v22.3Viphânc ủ ahàmhợp y = f (u ) và f, g khả vi thì dy = f ′ ( u ) du = f ( u ) u′ ( x ) dxNếu  u = g( x ) 1Chươ ng II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương3. Quan hệ giữa đ ạo hàm − nguyên hàm và vi phân: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c ⇔ F ′ ( x ) = f ( x ) ⇔ dF ( x ) = f ( x ) dx4. Các tính ch ất c ủa nguyên hàm và tích phân Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì4.1. ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) dx ′ ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x) ; d Nếu F( x) có đạo hàm thì:4.2. ∫ d ( F ( x) ) = F ( x) + c4.3.Phépc ộng:Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì: ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx   Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:4.4.Phéptr ừ: ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx  4.5.Phépnh ânv ớimộthằngsốthựckhác0: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , ∀k ≠ 04.6.C ôngthứcđổibiếnsố:Cho y = f(u) và u = g(x). ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du = F ( u ) + c ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c Nế u thì ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c5. Nhận xét: Nếu với F( x) là hàm s ơ c ấp thì ta nói tích ∫ f ( x ) dx biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét:phân bất đ ịnhNếu một tích phân bất đ ịnh bi ểu di ễn đ ược d ưới d ạng h ữu h ạn thì hàm s ốdưới dấu tích phân là hàm s ơ c ấp và đi ều ng ược l ại không đúng, t ức là cónhiều hàm số d ưới dấu tích phân là hàm s ơ c ấp nh ưng tích phân b ất đ ịnhkhông biểu di ễn được d ưới d ạng h ữu h ạn m ặc dù nó t ồn t ại. Ch ẳng h ạn b ất đ ịnh t ồn t ạicác tích phân sau2 Bài 1. Bài tập sử dụng công th ức nguyên hàm, tích phân dx sin x cos x∫e ∫ ln x ; ∫ ∫ ∫ − x2 dx ; sin x dx ; dx ; dx x xnhưng chúng không th ể bi ểu di ễn đ ược d ưới d ạng h ữu h ạn. 3Chươ ng II. Nguyên hàm và tích phân − Trần PhươngII. TÍCH PHÂN XÁC Đ ỊNH1. Định nghĩa:Giả sử hàm số f(x) xác đ ịnh và b ị ch ặn trên đo ạn [ a, b]. Xét một phân ho ạchπ bất kì c ủa đo ạn [ a, b], tức là chia đo ạn [ a, b] thành n ph ần tuỳ ý b ởi cácđiểm chia: a = x0 < x1 < ... < xn −1 < xn = b . Trên mỗi đoạn [ xk −1 , xk ] lấy bất kìđiểm ξk ∈ [ xk −1 , xk ] và gọi ∆ k = xk − xk −1 là độ dài c ủa [ xk −1 , xk ] . Khi đó: n∑ f (ξ ) ∆ = f ( ξ1 ) ∆1 + f ( ξ 2 ) ∆2 + ... + f ( ξ n ) ∆n gọi là tổng tích phân c ủa hàm k kk =1f(x) trên đoạn [ a, b]. Tổng tích phân này ph ụ thu ộc vào phân ho ạch π, sốkhoảng chia n và ph ụ thu ộc vào cách ch ọn đi ểm ξk. n ∑ f (ξ ) ∆ limNếu t ồn t ại (là một số xác định) thì gi ới h ạn này g ọi là k k Max∆k →0 k =1 ...