Nhắc lại giới hạn - Đạo hàm - Vi phân (Trần Sĩ Tùng) - 1

§Bài 1: NGUYÊN HÀMVấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1 CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) : PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng = f(x) với" Ỵ (a; b) F (x) x Chú ý Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: : + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) + Xác định...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nhắc lại giới hạn - Đạo hàm - Vi phân (Trần Sĩ Tùng) - 1§Baøi 1: NGUYEÂN HAØM Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓABaøi toaùn 1 CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b) : PHÖÔNG PHAÙP CHUNGTa thöïc hieän theo caùc böôùc sau:+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b)+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng = f(x) vôùi Î (a; b) F (x) xChuù yù Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: :+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) + Xaùc ñònh F’(a ) –) Xaùc ñònh F’(b ì F (x) = f(x), Î (a ; b) x ï+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng + )= f(a) í F (a ï F (b- )= f(b) î 2Ví duï 1 CMR haøm soá: : F(x) = ln(x+ x + a)vôùi a > 0 1 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = treân R. x2+ a Giaûi: 2x 1+ (x + x2 + a) 2 2 = 2 x +aTa coù:F (x) = [ln(x+ x + a)] = x + x2 + a x+ x2+ a x2+ a + x 1 = = =f(x) x2+ a(x+ x2+ a) x2 a +Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. ì ex khi x³ 0 ïVí duï 2 CMR haøm soá: : F(x) = í 2 ïîx + x + 1 khi x< 0 ì ex khi x³ 0 Laø moät nguyeân haøm cuûa haøf(x) = í m soá treân R. 2x + 1 khi x< 0 î Giaûi:Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp:a/ Vôùix ¹ 0 , ta coù: ì ex khi x> 0 F (x) = í î2x + 1 khi x< 0b/ Vôùi x = 0, ta coù: Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN 1Ví duï 1 CMR , neáu f (x)dx= F(x) Cthì : ò f(ax+ b)dx a F(ax b) C vôù¹ a = ++ i 0. + ò Giaûi: 1Ta luoân coùf(ax+ b)dx : = f(ax b)d(ax b) vôùi a + + ¹ 0. a 1 1AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: + b)dx ò ò f(ax = (ax b)d(ax b) F(ax + b) C (ñpcm) + + + . a aGhi chuùCoâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp: : ò f (t)dt= F(t)+ C Þ ò f(u)du = F(u) C, vôùi u + = u(x)Ví duï 2 Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: : 2ex 2 (2 ln x+ 1) 3 4 a/ ò (2x+ 3) dx b/ cos x.sin xdx c/ x dx d/ dx ò e +1 ò ò x Giaûi: 4 +4 3 =1 3 d(2x 3)1 (2x+ 3) + = (2x 3) +a/ Ta coùò: (2x+ 3) dx ò (2x 3) + += . C C. 2 2 4 8 ...