Nhập môn toán tài chính

Chuyên ngành toán tài chính (Mathematical Finance) là một trong những chuyên ngành sâu của Kinh tế toán với sự kết hợp giữa Tài chính học và Toán học. Ra đời vào những năm 50 của thế kỷ XX, chuyên ngành này đã đóng góp vai trò quan trọng trong việc hiện đại hoá nghiên cứu tài chính, ngân hàng và bảo hiểm. Hàng loạt các giải thưởng lớn về kinh tế, đặc biệt là các giải Nobel Kinh tế vào cuối thế kỷ XX đã được trao cho các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực này....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nhập môn toán tài chínhHanoi Center for Financial and Industrial Mathematics Trung Tâm Toán Tài Chính và Công Nghi p Hà N i NH P MÔN TOÁN TÀI CHÍNH QUY N 1 GS. Đ Đ c Thái GS. Nguy n Ti n Dũng Hà N i – Toulouse, 20112B n th o này: Ngày 19 tháng 1 năm 2011c Hanoi Center for Financial and Industrial MathematicsChương 1Gi i tích ng u nhiên Theo ngôn ng toán h c, s bi n đ ng theo th i gian c a giá c (như giá vàng, giád u h a, giá c phi u c a công ty Intel, v.v.), cũng như c a các s li u khác (ví d nhưm c tăng trư ng kinh t , t l th t nghi p, v.v.) đư c g i là các quá trình ng u nhiên(random process), b i vì nói chung không ai có th bi t trư c đư c m t cách chính xác giátr c a chúng trong tương lai s ra sao. Đ nghiên c u các quá trình ng u nhiên này, chúngta s c n dùng đ n m t b ph n c a toán h c g i là gi i tích ng u nhiên (stochasticculculus). Gi i tích ng u nhiên t c là gi i tích toán h c (các phép tính gi i h n, vi tíchphân, v.v.) áp d n vào các quá trình ng u nhiên, d a trên cơ s c a lý thuy t xác su tth ng kê. Trong chương này chúng ta s tìm hi u sơ lư c m t s ki n th c quan tr ng nh t vgi i tích ng u nhiên, c n thi t cho toán tài chính. B n đ c mu n nghiên c u sâu thêmv gi i tích ng u nhiên có th tìm đ c các sách chuyên kh o, ví d như quy n sách c aKaratzas và Shreve [12] ho c quy n sách c a tác gi Nguy n Duy Ti n [17].1.1 M t s mô hình bi n đ ng giá ch ng khoán ph n này, chúng ta s coi giá S c a m t c phi u (hay nói m t cách t ng quáthơn, c a m t ch ng khoán có giá dương) như là m t quá trình ng u nhiên nh n giá trtrong t p h p các s th c dương, và chúng ta s xét m t s mô hình h đ ng l c ng unhiên m t chi u đơn gi n mô t chuy n đ ng c a S theo th i gian. Chú ý r ng, do chcó 1 chi u, nên các mô hình này tương đ i thô: s tương tác gi a các thành ph n c a thtrư ng không đưa đư c vào mô hình, và mô hình ch d a trên các phương trình b c 1,thay vì phương trình b c 2 như trong v t lý. Tuy là các mô hình tương đ i thô, nhưng 34 CHƯƠNG 1. GI I TÍCH NG U NHIÊNchúng v n r t quan tr ng trong vi c phân tích s bi n đ ng giá c a các c phi u. Trư c h t, chúng ta s đ nh nghĩa m t cách hình th c toán h c th nào là m t quátrình ng u nhiên.1.1.1 Quá trình ng u nhiên Các quá trình bi n đ i theo th i gian, ví d như giá c phi u, lư ng nư c mưa trongtháng, s ngư i m c b nh cúm, v.v., mà ta không th d đoán đư c trư c m t cách chínhxác, thì đư c g i là các quá trình ng u nhiên. Đ mô t m t quá trình ng u nhiêntheo ngôn ng toán h c, ta c n các y u t sau: - Th i gian. Theo qui ư c, có m t m c th i gian ban đ u, là 0. Th i gian t có thlà bi n đ i liên t c, t ∈ R+ , ho c r i r c, t c là ta ch xét m t dãy các m c th i đi m0 = t0 < t1 < t2 < . . . nào đó. Trong trư ng h p r i r c, đ cho đơn gi n, ta s gi sthêm là các bư c th i gian là b ng nhau, t là ti − ti−1 = τ là m t h ng s không phthu c vào i. Nhi u khi, ta s dùng dãy s nguyên không âm 0, 1, 2, . . . đ ký hi u các m cth i gian, thay vì dùng các th i đi m t0 , t1 , t2 , . . . - Không gian xác su t. V i m i m c th i gian t, có m t không gian Ωt t t c các tìnhhu ng có th x y ra t th i đi m ban đ u cho đ n th i đi m t. Không gian này là khônggian xác su t, v i m t đ đo xác su t Pt đi kèm (t c là xác su t c a các tình hu ng cóth x y ra cho đ n th i đi m t). N u s và t là hai m c th i đi m nào đó v i s ≤ t, thì tacó m t phép chi u t nhiên πt,s : (Ωt , Pt ) → (Ωs , Ps ) (1.1)Khi ωt là m t tình hu ng có th x y ra cho đ n th i đi m t, thì πs,t ωt là tình hu ng đónhưng ch tính đ n th i đi m s, b qua nh ng gì x y ra sau th i đi m s. Các phép chi uπs,t th a mãn các tính ch t t nhiên sau:a) Toàn ánh (surjective), t c là m i tình hu ng có th x y ra cho đ n th i đi m s thì ph icó th ti p di n đ tr thành tình hu ng có th x y ra cho đ n th i đi m t.b) πt,t là ánh x đ ng nh t trên Ωt .c) B c c u: πr,s ◦ πs,t = πr,t v i m i r ≤ s ≤ t.d) B o toàn xác su t, có nghĩa là là n u A ∈ (Ωs , Ps ) là t p đo đư c (t c là t n t i xácsu t Ps (A)), thì nh ngư c c a nó trong (Ωt , Pt ) có cùng xác su t v i nó: −1 Pt (πs,t (A)) = Ps (A). (1.2)M t dãy các không gian xác su t (Ωt , Pt ) v i các phép chi u πs,t th a mãn các tính1.1. M T S MÔ HÌNH BI N Đ NG GIÁ CH NG KHOÁN 5ch t phía trên s đư c g i là m t h l c các không gian xác su t (filtered family ofprobability spaces). Các không gian xác su t (Ωt , Pt ) có th đư c g p chung l i thành m t không gian xácsu t (Ω, P ) t t c các tình hu ng có th x y ra (cho m i th i gian): m i p ...