OLYMPIC TOÁN NĂM 1997-1998 51_ ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI (Tập 4)

Tham khảo đề thi - kiểm tra olympic toán năm 1997-1998 51_ đề thi và lời giải (tập 4), tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
OLYMPIC TOÁN NĂM 1997-1998 51_ ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI (Tập 4) Nguyễn Hữu ĐiểnOLYMPIC TOÁN NĂM 1997-1998 51 ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI (Tập 4) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC2Lời nói đầu Để thử gói lệnh lamdethi.sty tôi biên soạn một số đề toán thi Olympic, màcác học trò của tôi đã làm bài tập khi học tập L TEX. Để phụ vụ các bạn ham Ahọc toán tôi thu thập và gom lại thành các sách điện tử, các bạn có thể thamkhảo. Mỗi tập tôi sẽ gom khoảng 51 bài với lời giải. Rất nhiều bài toán dịch không được chuẩn, nhiều điểm không hoàn toànchính xác vậy mong bạn đọc tự ngẫm nghĩ và tìm hiểu lấy. Nhưng đây là nguồntài liệu tiếng Việt về chủ đề này, tôi đã có xem qua và người dịch là chuyên vềngành Toán phổ thông. Bạn có thể tham khảo lại trong [1]. Rất nhiều đoạn vì mới học TeX nên cấu trúc và bố trí còn xấu, tôi khôngcó thời gian sửa lại, mong các bạn thông cảm. Hà Nội, ngày 2 tháng 1 năm 2010 Nguyễn Hữu Điển 51 89/176-05 Mã số: 8I092M5 GD-05Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Đề thi olympic Austria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 2. Đề thi olympic Bungari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 3. Đề thi olympic Canada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 4. Đề thi olympic Chine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 5. Đề thi olympic Colombia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 6. Đề thi olympic Czech và Slovak Repubulick . . . . 24 Chương 7. Đề thi olympic Pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 8. Đề thi olympic Đức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 9. Đề thi olympic Irland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Chương 1Đề thi olympic Austria1.1. Giải hệ phương trình với x, y là số thực    (x − 1)(y 2 + 6) = y (x2 + 1),   (y − 1)(x2 + 6) = x(y 2 + 1)Lời giải: Ta cộng hai phương trình trên cho nhau. Sau khi rút gọn và đưa vềbình phương của một hiệu ta được phương trình sau 5 5 1(x − 2 )2 + (y − 2 )2 = 2Chúng ta lại trừ hai phương trình cho nhau, trừ phương trình thứ hai chophương trình thứ nhất và nhóm lại, ta có: xy (y − x) + 6(x − y ) + (x + y )(x − y ) = xy (x − y ) + (y − x) (x − y )(−xy + 6 + (x + y ) − xy + 1) = 0 (x − y )(x + y − 2xy + 7) = 0Do vậy, hoặc x − y = 0 hoặc x + y − 2xy + 7 = 0. Cách duy nhất để có x − y = 0là với x = y = 2 hoặc x = y = 3 (tìm được bằng cách giải phương trình (1))với phép thế x = yBây giờ, ta xét trường hợp x = y sẽ được giải để x + y − 2xy + 7 = 0. Phươngtrình này là tương đương với phương trình sau(được suy ra từ cách sắp xếp6 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Hà Nộilại các số hạng và thừa số)(x − 1 )(y − 2 ) = 15 1 2 4Giả sử, chúng ta có thể giải phương trình (1) và (2) một cách đồng thời. Đặta = x − 5 và b = y − 5 . Do đó, phương trình (1)) tương đương với 2 2 1a2 + b2 = 2và phương trình (2) tương đương với: 15 1 −1 (a + 2)(b + 2) = ⇒ ab + 2(a + b) = → 2ab + 4(a + b) = 4 4 2Cộng phương trình (4) và (3) chúng ta thấy:(a + b)2 + 4(a + b) = 0 → a + b = 0, −4Lấy phương trình (4) trừ (3) ta thấy:(a − b)2 − 4(a + b) = 1Nhưng bây giờ chúng ta thấy rằng ,nếu a + b = −4 thì phương trình (6) sẽ bịsai; Do đó, a + b = 0. Thế a + b = 0 vào phương trình (6) chúng ta thu được:(a − b)2 = 1 → a − b = ±1Vì từ phương trình (5) chúng ta có a+b = 0,và cùng với phương trình (7)bây giờta có thể tìm được tất cả các cặp có thứ tự (a, b). Chúng là (− 1 , 2 ) và ( 1 , − 2 ) 1 1 2 2. Do vậy, các nghiệm (x, y )của hệ phương trình đã cho là(2, 2),(3, 3),(2, 3) và(3, 2). 1.2. Cho dãy số nguyên dương thỏa mãn an = a2 −1 + a2 −2 + a2 −3 v ...