Ôn tập giải tích (1)

Tham khảo tài liệu ôn tập giải tích (1), tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập giải tích (1)Đề 1: 2x + yCâu 1: Tìm khai triển Taylor của f ( x, y ) = tại điểm ( 2, 1) đến cấp 3. x+ yX=x-2, Y=y-1f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)2 -(X/3 +Y/3)3 + o(ρ3)] = + X - Y - X2 + Y2 + XY + X3 - Y3 - XY2 + o(ρ3) = + (x-2) - (y-1) - (x-2)2 + (y-1)2 + (x-2)(y-1) + (x-2)3 - (y-1)3 - (x-2)(y-1)2+ o(ρ3)Câu 2:tìm cực trị của hàm z = x 2 + y 2 + xy − 12 x − 3 yĐiểm dừng: x=7, y=-2A= z’’xx=2, B=z’’xy=1, C=z’’yy=2Δ=AC-B2=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2) 2 ∞ n un  1   2 nCâu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ với un=  2 + 2  và vn= 1 +  n =1 v n  n   n ∞ un = = = 2/e2 ∑v n =1 hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy n ∞ ( −1) n−1 x 2 nCâu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ 4n (3n − 1) n =1ρ= = =1/4=> -4 1Câu 5: Tính tích phân kép I = ∫∫ dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 D x +y2 x ≤ x 2 + y 2 ≤ 6 x, y ≥ xx=rcosφ, y=rsinφ 1I = ∫∫ dxdy = = = 4-2 D x2 + y 2Câu 6: Tính tích phân C ( 2 ) I = ∫ e x + xy dx + ( y cos y + x 2 ) dy với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1),B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ.Các đk công thức Green thỏaChiều C ngược chiều quy ước C ( 2 )I = ∫ e x + xy dx + ( y cos y + x 2 ) dy = = =-7/2Câu 7: Tính I = ∫ Ñydx + ( z + x)dy + xdz , với C là giao C của x 2 + y 2 = 1 và z= y + 1 , chiều kim đồng hồtheo hướng dương trục 0z.Công thức StokesI= = == = =Câu 8: Tính tích phân mặt loại một ( ) I = ∫∫ x 2 + y 2 dS , trong đó S là phần mặt nón z2 = x2 + y2 , Snằm giữa hai mặt phẳng z= 0, z= 1 . D=prxOyS là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x2+y2=1} S (I = ∫∫ x 2 + y 2 dS ) = = /2Đề 2: 2Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) = xe xy . Tính d 2 f (2,1) .f’x= +xy2f’’xx= 2y2 + xy4 => f’’xx(2,1)= 4e2f’’xy= 4xy + 2x2y3 => f’’xy(2,1)=16e2f’y=2x2yf’’yy= 2x2 +4x3y2 => f’’yy(2,1)=40e2  d2f(2,1)=4e2dx2 + 32e2dxdy + 40e2dy2 2 + y2Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) = ( y 2 − x 2 )e1− x trên miền D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 4}  x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0Xét: L(x,y,λ)= +λ(x2+y2-4)  x=0,y= , λ=-5e5 v x= ,y=0, λ=-3e-3f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(-1,0)=1f(0,2)= f(0,-2)=4e5 f(2,0)= f(-2,0)=-4e-3Maxf=4e5x2+y2 4Minf=-1x2+y2 4 n( n+2) ∞  n −1  ∞ 1.3.5...( 2n − 1) n +1Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ ∑ n + 2  b/ ∑ n =1 2.4.6...( 2n) ...