Ôn tập về hàm số bậc 3

Tài liệu luyện thi đại học dành cho học sinh hệ Trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp và ôn thi Đại học - Cao đẳng tham khảo ôn tập và củng cố lại kiến thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập về hàm số bậc 3 ÔN T P V HÀM S B C3Gi s : y = ax3 + bx2 + cx + d v i a ≠ 0 có đ th là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax+ 2b −b1) y” = 0 ⇔ x = (a ≠ 0 ) 3a −b x= là hoành đ đi m u n. Đ th hàm b c 3 nh n đi m u n làm tâm đ i x ng. 3a2) Đ v đ th 1 hàm s b c 3, ta c n bi t các trư ng h p sau :i) a > 0 và y’ = 0 vô nghi m ⇒ hàm s tăng trên R (luôn luôn tăng)ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghi m ⇒ hàm s gi m (ngh ch bi n) trên R (luôn luôn gi m)iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t x1, x2 v i x1 < x2 ⇒ hàm s đ t c c đ i t i x1 và đ t c c ti u t i x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 v i x0 là hoành đ đi m u n. + hàm s tăng trên (−∞, x1) + hàm s tăng trên (x2, +∞) + hàm s gi m trên (x1, x2)iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t x1, x2 v i x1 < x2 ⇒ hàm đ t c c ti u t i x1 và đ t c c đ i t i x2 th a đi u ki n x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành đ đi m u n). Ta cũng có : + hàm s gi m trên (−∞, x1) + hàm s gi m trên (x2, +∞) + hàm s tăng trên (x1, x2)3) Gi s y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t và y = k(Ax + B)y’ + r x + q v i k là h ng s khác 0; thì phương trình đư ng th ng qua 2 đi m c c tr là y = r x + q4) (C) c t Ox t i 3 đi m phân bi t y = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1 , x 2  ⇔  y(x1 ).y(x 2 ) < 0 5) Gi s a > 0 ta có :i) (C) c t Ox t i 3 đi m phân bi t > α y = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa α < x1 < x 2  ⇔ y(α) < 0   y(x1 ).y(x 2 ) < 0 ii) (C) c t Ox t i 3 đi m phân bi t < α y = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa x1 < x 2 < α  ⇔ y(α) > 0   y(x1 ).y(x 2 ) < 0 Tương t khi a < 0 .6) Ti p tuy n : G i I là đi m u n. Cho M ∈ (C). N u M ≡ I thì ta có đúng 1 ti p tuy n qua M. N u M khác I thì ta có đúng 2 ti p tuy n qua M. Bi n lu n s ti p tuy n qua 1 đi m N không n m trên (C) ta có nhi u trư ng h p hơn.7) (C) c t Ox t i 3 đi m phân bi t cách đ u nhau ⇔ y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t và y(x0) = 0 (x0 là hoành đ đi m u n)8) Bi n lu n s nghi m c a phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α là 1 nghi m c a (1). N u x = α là 1 nghi m c a (1), ta có ax3 + bx2 + cx + d = (x - α)(ax2 + b1x + c1) nghi m c a (1) là x = α v i nghi m c a phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trư ng h p sau:i) n u (2) vô nghi m thì (1) có duy nh t nghi m x = αii) n u (2) có nghi m kép x = α thì (1) có duy nh t nghi m x = αiii) n u (2) có 2 nghi m phân bi t ≠ α thì (1) có 3 nghi m phân bi tiv) n u (2) có 1 nghi m x = α và 1 nghi m khác α thì (1) có 2 nghi m.v) n u (2) có nghi m kép ≠ α thì (1) có 2 nghi mBÀI T P ÔN V HÀM B C 3 Cho h đư ng cong b c ba (Cm) và h đư ng th ng (Dk) l n lư t có phương trình là y = −x3 + mx2 − m và y = kx + k + 1. (I) PH N I. Trong ph n này cho m = 3. Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s .1) G i A và B là 2 đi m c c đ i và c c ti u c a (C) và M là đi m b t kỳ trên cung AB v i M khác A , B . Ch ng minh r ng trên (C) ta tìm đư c hai đi m t i đó có ti p tuy n vuông góc v i ti p tuy n t i M v i (C).2) G i ∆ là đư ng th ng có phương trình y = 1. Bi n lu n s ti p tuy n v i (C) v t E ∈ ∆ v i (C).3) Tìm E ∈ ∆ đ qua E có ba ti p tuy n v i (C) và có hai ti p tuy n vuông góc v i nhau.4) Đ nh p đ trên (C) có 2 ti p tuy n có h s góc b ng p, trong trư ng h p này ch ng t trung đi m c a hai ti p đi m là đi m c đ nh.5) Tìm M ∈ (C) đ qua M ch có m t ti p tuy n v i (C). (II) PH N I I.Trong ph n này cho tham s m thay đ i.6) Tìm đi m c đ nh c a (Cm). Đ nh m đ hai ti p tuy n t i hai đi m c đ nh này vuông góc nhau.7) Đ nh m đ (Cm) có 2 đi m c c tr . Vi t phương trình đư ng th ng qua 2 đi m c c tr .8) Đ nh m đ (Cm) c t Ox t i 3 đi m phân bi t.9) Đ nh m đ : a) hàm s đ ng bi n trong (1, 2). b) hàm s ngh ch bi n trong (0, +∞).10) Tìm m đ (Cm) c t Ox t i 3 đi m có hoành đ t o thành c p s c ng.11) Tìm đi u ki n gi a k và m đ (Dk) c t (Cm) t i 3 đi m phân bi t. Tìm k đ (Dk) c t (Cm) thành hai đo n b ng nhau.12) Vi t phương trình ti p tuy n v i (Cm) và đi qua đi m (-1, 1).13) Ch ng minh r ng trong các ti p tuy n v i (Cm) thì ti p tuy n t i đi m u n có h s góc l n nh t. BÀI GI IPH N I : m = 3 Kh o sát và v đ th (đ c gi t làm)1) G i n là hoành đ c a M. Vì hàm s đ t c c ti u t i x = 0 và đ t c c đ i t i x = 2 nên 0 < n < 2; y = – 3x2 + 6x ⇒ h s góc c a ti p tuy n t i M là k1 = – 3n2 + 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Đư ng th ng vuông góc v i ti p tuy n t i M có h s góc 1 là k2 = − (v i 0 < k1 ≤ 3) ...