Ôn thi Chuyên đề Hệ phương trình

Tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hệ phương trình
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn thi Chuyên đề Hệ phương trình Th¸ng 08 – 2007...Ph¹m Kim Chung HÖ ph−¬ng tr×nh I. HÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh. Bµi 1. ( §Ò thi HSG quèc gia n¨m 1994 ) ( ) ⎧ x 3 + 3 x − 3 + ln x 2 − x + 1 = y ⎪ ⎪ ( ) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ y 3 + 3 y − 3 + ln y 2 − y + 1 = z ⎪3 ( ) ⎪ z + 3z − 3 + ln z − z + 1 = x 2 ⎩Gi¶i : ( ) XÐt hµm sè : f ( t ) = t 3 + 3t − 3 + ln t 2 − t + 1 2t 2 − 1Ta cã : f ( t ) = 3t 2 + 1 + > 0, ∀x ∈ R t2 − t + 1VËy hµm sè f ( t ) ®ång biÕn trªn R. Ta viÕt l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh nh− sau : ⎧ f (x) = y ⎪ ⎨ f (y) = z ⎪ f ( z) = x ⎩Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö : x = min { x, y, z} . Lóc ®ã : x ≤ y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) ⇒ y ≤ z ⇒ f ( y ) ≤ f ( z ) ⇒ z ≤ x . Hay : x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z ( )Víi : x = y = z , xÐt ph−¬ng tr×nh : x 3 + 2 x − 3 + ln x 2 − x + 1 = 0 ( )Do hµm sè : ϕ ( x ) = x 3 + 2 x − 3 + ln x 2 − x + 1 ®ång biÕn trªn R nªn pt cã nghiÖm duy nhÊt : x = 1 . VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = 1 . Bµi to¸n tæng qu¸t 1 . XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng : ⎧ f ( x1 ) = g ( x2 ) ⎪ ⎪ f ( x 2 ) = g ( x3 ) ⎪ ⎨ .... ⎪ f (x ) = g(x ) ⎪ n −1 n ⎪ f ( x n ) = g ( x1 ) ⎩ ( x1 , x2 ..., xn )NÕu hai hµm sè f vµ g cïng t¨ng trªn tËp A vµ lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh , trong®ã xi ∈ A, ∀i = 1, 2,..., n th× x1 = x2 = ... = xn .Chøng minh : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x1 = min { x1 , x2 ..., x n } . Lóc ®ã ta cã : x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ⇒ g ( x2 ) ≤ g ( x3 ) ⇒ x2 ≤ x3 ... ⇒ x n ≤ x1 .VËy : x1 ≤ x2 ≤ .... ≤ xn ≤ x1Tõ ®ã suy ra : x1 = x2 = ... = xn . 1 Bµi 2. ⎧⎛ 1 ⎞2 x + x 3 2 ⎪⎜ ⎟ =y ⎪⎝ 4 ⎠ ⎪ 2 y3 + y 2 ⎪⎛ 1 ⎞ =z Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎜ ⎟ ⎪⎝ 4 ⎠ ⎪ 2 z3 + z 2 ⎛1⎞ ⎪ =x ⎪⎜ 4 ⎟ ⎝⎠ ⎩Gi¶i: V× vÕ tr¸i cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ ®Òu d−¬ng nªn hÖ chØ cã nghiÖm : x, y, z > 0 . 2 t3 +t2 2 t3 +t2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ( ) XÐt hµm sè : f ( t ) = ⎜ ⎟ , ta cã : f ( t ) = − ( 2 ln 4 ) 3t 2 + t < 0, ∀t > 0 . .⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ...