PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO YẾU TỐ ĐƯỜNG CAO

Dạng toán tính thể tích khối đa diện trong những năm gần đây xuất hiện nhiều trong các đềthi đại học, cao đẳng. Đây là một dạng khó đối với học sinh mặc dù bài toán về hình học khônggian không thuộc vào câu khó trong đề thi.Việc tính thể tích khối đa diện có nhiều phương pháp giải, một phương pháp điển hình là làsử dụng công thức tính. Trong phương pháp này, điểm khó nhất lại nằm ở yếu tố đường cao. Đểgiúp các thầy cô và học sinh có những nhìn nhận tốt hơn về vấn đề...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO YẾU TỐ ĐƯỜNG CAO PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO YẾU TỐ ĐƯỜNG CAO Dạng toán tính thể tích khối đa diện trong những năm gần đây xuất hiện nhiều trong các đềthi đại học, cao đẳng. Đây là một dạng khó đối với học sinh mặc dù bài toán về hình học khônggian không thuộc vào câu khó trong đề thi. Việc tính thể tích khối đa diện có nhiều phương pháp giải, một phương pháp điển hình là làsử dụng công thức tính. Trong phương pháp này, điểm khó nhất lại nằm ở yếu tố đường cao. Đểgiúp các thầy cô và học sinh có những nhìn nhận tốt hơn về vấn đề này sau đây tôi xin đưa ra mộtsố hướng giải quyết như sau. Có thể chia làm các dạng toán: - Dạng toán có sẵn đường cao. - Dạng toán cần đi dựng đường cao. - Dạng toán cần dựng đường cao phụ..1. Dạng toán có sẵn đường cao.a. Cơ sở lý thuyết. Một số bài toán về tính thể tích khối đa diện đã có sẵn đường cao. Giáo viên cần đưa ra cácví dụ và giúp học sinh biết xác định đường cao đó. Một số hướng giải quyết như sau: - Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy. Có thể cho vuông góc trực tiếp hoặc cho vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đáy. - Giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc với đáy. - Đường thẳng qua đỉnh nằm trong mặt phẳng ( α ) vuông góc với đáy, đồng thời vuông góc với giao tuyến của ( α ) và đáy. - Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình chiếu của nó là đường cao. …  Lưu ý: Trong các trường hợp trên cần chỉ cho học sinh thấy được trong các trườnghợp nào cần phải chứng minh đó là đường cao, trường hợp nào không cần phải chứng minh.b. Ví dụ minh họa. S Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD cóSA ⊥ (ABCD). Đáy ABCD là hình thang vuông tạiA và D, AB = 2a; CD = a và BC = a 2 . Cạnh bênSC hợp với đáy góc 600. Tính thể tích khối chóp. Lời giải: Lấy M là trung điểm của AB khiđó CD = AM = a, AM / /CD và · DAM = 600 nên tứ B A Mgiác ADCM là hình chữ nhật suy ra CM ⊥ AB. Áp D C Cao Văn Tùng _ THPT Lạng Giang số 2_ Bắc Giang.dụng định lí Pitago trong các tam giác vuông CMB và CMA ta được CM = BC2 − MB2 ( a 2) 2= − a 2 = a; AC = AM 2 + CM 2 = a 2 + a 2 = a 2. SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD). Do vậy góc giữa SC và(ABCD) là · SCA = 600 .Tam giác SAC vuông tại A nên SA = AC.tan · SCA = AC.tan 600 = a 2. 3 = a 6. 1 1 3a 2 1 1 3a 2 a3 6 SABCD = ( AB + CD ) .CM = ( a + 2a ) a = . VABCD = SABCD .SA = . .a 6 = (đvtt). 2 2 2 3 3 2 2  Nhận xét: Cần lưu ý rằng SA vuông góc với đáy do vậy SA là đường cao. Từ đókhi vẽ hình để thuận lợi cho giải toán ta nên vẽ sao cho SA thẳng đứng. Do SC tạo với đáy góc600, để tính SA một cách tự nhiên ta xét tam giác vuông SAC. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;AB = AD = 2a , CD = a; góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểmcủa cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thểtích khối chóp S.ABCD theo a. Đề thi Đại học_khối A_năm 2009Lời giải: Từ (SIB) ⊥ (ABCD) và (SIC) ⊥ (ABCD) ta có SSI ⊥ (ABCD) nên SI là đường cao. Kẻ IK ⊥ BC(K ∈BC) đồng thời BC ⊥ SI (vì SI ⊥ ( ABCD ) ) bêngóc giữa (SBC) và (ABCD) là SKI = 600. · (AB + CD).AD (2a + a).2aSABCD = = = 3a 2 . 2 2 1 1 Ta có, SABI + SCDI = .CD.ID + AB.AI = B 2 2 1 AD 1 2a 3a 2 I A . . ( AB + CD ) = . . ( 2a + a ) = . Suy ra 2 2 2 2 2 2 3a KSIBC = SABCD − ( SICD + SIAB ) = . D 2 C- Theo định lí Pitago ta có: 2.SIBC 3 5 a 3 15 a BC = ( AB − CD ) + AD 2 = a 5 ⇒ IK = ⇒ SI = IK.tan ·SKI = 2 = . BC 5 5 1 3 15 a 3- Thể tích khối chóp là: VSABCD = SABCD .SI = . 3 5  Nhận xét: Cần nhận thấy SI là giao điểm của 2 mặt phẳng phân biện (SIK) và (SIC) cùngvuông góc với đáy do vậy SI là đường cao. Từ đó để thuận lợi cho giải toán cần vẽ hình sao cho SIthẳng đứngc. Bài tập đề nghị. Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy băng a. Mặt bên tạo với đ ...