Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1

Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y). Giả sử U=1(X,Y)là V =2(X,Y)với 1,2là các hàm đơn trị sao cho1(U,V) (X,Y) được xác định duy nhất từ giá trị của (U,V) là X =2(U,V).Giả thiết1,2 tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi UV(u,v) = f(1(u,v),2(u,v))Chú ý: Công thức trên có thể...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1 Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiênMệnh đề 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y).Giả sử với là các hàm đơn trị sao cho U= 1(X,Y) và V = 2(X,Y) 1, 2(X,Y) được xác định duy nhất từ giá trị của (U,V) là X = 1(U,V) và Y = Giả thiết tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó2(U,V). 1, 2hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi với J =gUV(u,v) = f( 1(u,v), 2(u,v))Chú ý: Công thức trên có thể mở rộng cho trường hợp n biến ngẫu nhiên X1,X2,…, Xn.Ví dụ 1.2. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham số Xác định hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên U = X + Y và .Chứng minh U, V là các biến ngẫu nhiên độc lập.Giải. Do X, Y độc lập nên hàm mật độ đồng thời của X và Y làXét phép biến đổi và .Với x, y > 0 thì u > 0 và 0 < v < 1. Theo Mệnh đề 1.1, hàm mật độ đồng thời củaU và V làTừ đó, hàm mật độ của U làvà hàm mật độ của V làCuối cùng, do fU,V(u, v) = fU(u).fV(v) nên U, V độc lập.2. Tích chập của các phân phốiBài toán 2.1. Giả sử X1, X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ tươngứng là f1(x) và f2(x). Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U = X + Y.Giải. Xét phép biến đổi vàTheo Mệnh đề 1.1, hàm mật độ đồng thời của U và V làgUV(u,v) = fX,Y(v; u - v).1 = fX,Y(x, u - x)Vì X1, X2 độc lập nên hàm mật độ của U làgU(u) =và hàm phân phối của U làĐịnh nghĩa 2.2. Hàm phân phối FU(u) xác định như trên được gọi là tích chập củahai hàm phân phối F1(x) và F2(x) của các biến X1, X2, kí hiệu là F1*F2.Tích chất 2.3. F1 * F 2 = F 2 * F1  (F1* F2)* F3 = F1*( F2* F3)  F1* (F2 + F3) = F1* F2 +F1* F3 Bằng cách tương tự, có thể mở rộng tích chập ra trường hợp n phân phối của cácbiến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn là F1* F2*…* Fn.Ví dụ 2.4. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham sốchuẩn tắc N(0, 1). Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U = X + Y.Giải. Ta có X, Y có cùng hàm mật độ làTheo công thức tích chập, hàm mật độ của U làVậy U là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0; 2).Ví dụ 2.5. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham sốlần lượt là Xác định phân phối của biến ngẫu nhiên X + Y.Giải. Ta cóVậy X + Y cũng có phân phối Poison tham số3. Các số đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên Kỳ vọng của tổng các biến ngẫu nhiên Mệnh đề 3.1. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y và g là hàm Borel. Khi đó Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời  P(X=xi, Y=yj) =pij thì Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ đồng thời  f(x,y) thìTrường hợp đặc biệt của mệnh đề trên là khi X, Y có kỳ vọng hữu hạn thìE(X + Y) = E(X) +E(Y)Tổng quát, nếu Xi, i = 1,2, ..., n là các biến ngẫu nhiên bất kỳ có kỳ vọng hữu hạnthìE(X1 + X2+ ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn)Ví dụ 3.2. Một tai nạn có thể xảy ra tại điểm ngẫu nhiên X có phân phối đều trênđoạn đường có độ dài L. Vào thời điểm đó, một xe cấp cứu đang ở vị trí Y ngẫunhiên trên đường, độc lập với X . Xác định khoảng cách trung bình giữa vị trí củaxe cấp cứu và địa điểm xảy ra tai nạn.Giải. Hàm mật độ đồng thời của X và Y là