Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2

Từ đó,Ví dụ 3.3. (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức) Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p).Do E(Xi) = p với mọi i = 1, 2, ..., n nên Hiệp phương sai.Mệnh đề 3.4. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì với mọi hàm Borel g, hE[g(X).h(Y)] = E[g(X)]. E[h(Y)]Định nghĩa 3.5. Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Cov(X, Y) được xác định bởiCov(X, Y) = E[(X – E(X))(Y E(Y))]Khai triển vế phải ta nhận được Cov(X,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2Từ đó,Ví dụ 3.3. (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức)Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p). Đặt . Do E(Xi) = p với mọi i = 1, 2, ..., n nênthì . Hiệp phương sai Mệnh đề 3.4. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì với mọi hàm Borel g, h E[g(X).h(Y)] = E[g(X)].E[h(Y)]Định nghĩa 3.5. Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Cov(X,Y) được xác định bởi Cov(X, Y) = E[(X – E(X))(Y -E(Y))]Khai triển vế phải ta nhận đượcCov(X, Y) = E(XY) –E(X).E(Y)Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì theo Mệnh đề 3.4 ta có Cov(X, Y) =0. Tuy nhiên khẳng định ngược lại không đúng.Thật vậy, cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất và biến ngẫu nhiên .Dễ thấy E(X) = 0 và do XY = 0 nên E(XY) = 0. Như vậyCov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = 0tuy nhiên rõ ràng X, Y là không độc lập.Tính chất 3.6. Cov(X, Y) = Cov(Y, X)  Cov(X, X) = D(X)  Cov(aX, Y) = a Cov(X, Y), a là hằng số.   Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên Từ các tính chất trên của hiệp phương sai ta cóNhư vậy,và nếu X1,.., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .Ví dụ 3.7. Cho X1,.., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối vớiphương sai . Đặt . Chứng minhGiải. Ta có . Hệ số tương quan Định nghĩa 3.8. Hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu r(X, Y)được xác định bởi : Nếu D(X) và D(Y) thìr(X, Y)Nếu D(X) = 0 hoặc D(Y) = 0 hay có ít nhất một trong 2 đại l ượng ngẫu nhiên X, Ylà hằng số thì ta quy ước r(X, Y) = 0.Khi r(X, Y) = 0, ta nói X, Y không tương quan. Lưu ý rằng nếu X, Y độc lập thìX, Y không tương quan nhưng khẳng định ngược lại không đúng. (Ví dụ trongĐịnh nghĩa 3.5)Định lí 3.9. Với mọi biến ngẫu nhiên X, Y ta luôn có khi và chỉ khi X và Y là phụ thuộc tuyến tính.vàChứng minh . Xét phương sai của đại lượng . Ta cóTừ đó suy ra r(x, Y) 1.Tương tự, xét phương sai của ta nhận được r(X, Y) -1.Bây giờ, giả sử nếu r(X, Y) = ±1. Từ chứng minh trên suy ra ,nghĩa là = c với c là hằng số. Như vậy ,nghĩa là X,Y phụ thuộc tuyến tính.Ngược lại, nếu Y = aX + b với a,b là hằng số thìCov(X, Y) =Vậy (X, Y) =Định lí được chứng minh.