Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện trong xác suất thống kê

Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện1. Phân phối điều kiện Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi:Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì.Ví dụ 1.2. Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồng xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện trong xác suất thống kê Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện1. Phân phối điều kiệnĐịnh nghĩa 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suấtđồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y= y được xác định bởi Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .Ví dụ 1.2. Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồngxu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện. Xác định ; p(x,y) và pY(y).Giải. Giả sử X = x thì Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(x; . VậyTừ đóp(x,y) =P(X = x, Y = y) = .pX(x) =và phân phối của Y làVí dụ 1.3. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham sốlần lượt là Xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n.Giải. Ta cóTheo Ví dụ 2.5 (bài học tuần 9), X +Y cũng có phân phối Poisson tham số. Từ đó,hay phân phối của X với điều kiện X + Y = n là phân phối nhị thức tham số n và .Định nghĩa 1.4. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời fX,Y(x,y). Khi đó, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .Từ định nghĩa trên ta có Hàm mật độ của X  Với tập D bất kỳ  Hàm phân phối của X Ví dụ 1.5. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thờiTínhGiải. Với y > 0, hàm mật độ của Y làVậy với x, y > 0, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y làTừ đó,2. Kì vọng điều kiệnĐịnh nghĩa 2.1. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y. Kỳ vọng điều kiện của X cho bởiY = y, ký hiệu được xác định bởi Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối điều kiện của X cho  bởi Y = y là thìvới mọi giá trị y sao cho P(Y = y) >0. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ điều kiện của X  cho bởi Y = y là thìvới mọi giá trị y sao cho fY(y) >0.Ví dụ 2.2. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối nhị thứctham số n, p. Xác định kỳ vọng điều kiện của X cho bởi X + Y = n.Giải. Trước hết ta xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n. Ta cóVậy phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n là phân phối siêu bội. Từ đó .Ví dụ 2.3. Cho hàm mật độ đồng thời của hai biến ngẫu nhiên (X,Y) làXác định E(X ) và E(YGiải. Ta có hàm mật độ của X là =và hàm mật độ của Y là =Từ đó, hàm mật độ điều kiện của Y cho bởi X = x là = =và hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là = =VậyE(Y và E(XTính chất 2.4. Cho g là hàm Borel thì  nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập.  . Đặc biệt, nếu C là hằng số.  với a, b là hằng số  . Đặc biệt  Nếu Y là biến ngẫu nhiên rời rạc thì  Nừu Y là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ fY(y) thìVí dụ 2.5. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thờiTính EX; EY vàGiải. TừTa nhận được E(Y) = 1. Vìlà hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng y nênTa cóVậy Cov(X,Y) = EXY – EX.EY = 1