Phân tích mode bài toán 2D bằng phương pháp Element Free Galerkin EFG

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) được xem là 1 phương pháp số mạnh và hữu dụng trong việc giải quyết thành công nhiều bài toán cơ học. Bài viết trình bày việc sử dụng phương pháp EFG với phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) để nghiên cứu dao động tự do cho thanh và dầm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phân tích mode bài toán 2D bằng phương pháp Element Free Galerkin EFG Tạp chí Khoa học Giáo dục Kỹ Thuật, số 10( 4/2008) 54 Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí MinhPHÂN TÍCH MODE BÀI TOÁN 2D BẰNG PHƯƠNG PHÁP ELEMENT FREE GALERKIN EFG Lê Đình Tuấn Nguyễn Hoài Sơn Phùng Văn phúc Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp Hồ Chí MinhABSTRACT This paper presents a meshless approach to analyzing two-dimensional elasticityproblems by the Element-Free Galerkin (EFG) method. It is based on moving least squaresapproximant. The unknown function of displacement is approximated by moving least squareapproximants . These approximants are constructed by using a weight function, a monomialbasis function and a set of non-constant coefficients. A subdivision similar to finite elementmethod is used to provide a background mesh for numerical integration. The essential boundaryconditions are enforced by Lagrange multipliers. The results are obtained for a two-dimensionalproblem using different EFG weight functions and compared with the results of finite elementmethod.1. Giới thiệu Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) được xem là 1 phươngpháp số mạnh và hữu dụng trong việc giải quyết thành công nhiều bài toán cơ học. Tuy nhiên,trong một số trường hợp như các bài toán về biến dạng lớn, các bài toán vết nứt: quá trìnhbiến dạng lưới phần tử sẽ bị méo đặc biệt với những bài toán có miền hình học phức tạp, chínhđiều này tạo nên sự bất liên tục trong quá trình truyền năng lượng qua biên các phần tử. Dođó, việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn đã gặp phải khó khăn vì phải làm lại lưới saumỗi bước tính toán để đảm bảo sự chính xác và hội tụ của phương pháp, và như vậy sẽ dẫn đếnchi phí tính toán cao. Để khắc phục điều này, nhiều phương pháp không lưới được đề nghị:phương pháp Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), Reproducing Kernel Particle Method(RKPM), Element-Free Galerkin (EFG), phương pháp Meshless Local Petrov-Galerking(MLPG). Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng phương pháp EFG với phép xấp xỉ bình phương tốithiểu động (MLS) để nghiên cứu dao động tự do cho thanh và dầm.2. Hàm xấp xỉ MLS Xấp xỉ MLS được Lancaster and Salkauskas xây dựng để xấp xỉ các đường và mặt bất kỳ. Xét miền Ω chứa các điểm nút xi (1 ≤ i ≤ n ). Trên miền này, tập các hàm liên tục u có giátrị tại nút là U i . Xấp xỉ MLS của u trên Ω là u h (x) : m u h ( x) = ∑ p i ( x)a i ( x) = p T ( x)a ( x) (1) [ ] i =1Trong đó: (2) p T ( x) = p1 ( x) p2 ( x) ... pm ( x)Với p ( x) a ( x) lần lượt là các hàm cơ sở độc lập tuyến tính và các hệ số xấp xỉ cần xác định. , a T ( x) = [ 0 ( x) a a 1 ( x) ... a m ( x)]Các tham số a (x) được xác định bằng cách bình phương tối thiểu có trọng số theo chuẩn sai sốJ: 2 2 [ ] ∑ [ ] n n ∑ h TJ ( x) = wi ( x − xi ) u ( xi ) − U i = wi ( x − xi ) p ( xi )a ( x) − U i i =1 i =1 (3) Tạp chí Khoa học Giáo dục Kỹ Thuật, số 10( 4/2008) 55 Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí MinhVới wi ( x − xi ) là hàm trọng số. Nó sẽ kháckhông trên miền ảnh hưởng của nút xi . Trongphương trình (3) chỉ các nút nằm trong miềnảnh hưởng mới được sử dụng. Kích thước x − xi Với rj = miền ảnh hưởng của mỗi nút và cách chọn d max cihàm trọng số đóng vai trò quyết định choviệc xác định các tham số a (x) trong xấp xỉ Trong đó:MLS. 2÷4 d max là hệ số tỉ lệ thường chọna ( x) = A −1 ( x) B ( x)U ...