phân tích ứng suất: phần 2

nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "phân tích ứng suất" giới thiệu tới người đọc các nội dung chương 4 - giải bài toán lý thuyết đàn hồi bằng phương pháp số. cuối chương có phần bài tập để người đọc kiểm tra lại kiến thức đã học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
phân tích ứng suất: phần 23-9. Hãy xác định ứng suất trong nêm phẳng cho trên hình B-3-9 với các hàm Airy:ϕ(r, θ) = r 2 (A cos 2θ + B sin 2θ + Cθ + D ) cho trường hợp hình a),b),c).ϕ(r, θ) = r 3 (A cos 3θ + B sin 3θ + C cos θ + D sin θ) cho trường hợp hình d).yyq`α αqtxa)α αtxqαxb)yγxyαxc)d)Hình B-3-9CHƯƠNG 4GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ4.1 Những khái niệm mở đầuỞ phần trên ta thấy việc tìm nghiệm của bài toán đàn hồi dưới dạng các hàm giải tích gặprất nhiều khó khăn về mặt toán học, và giải được rất ít bài toán với các điều kiện biên và tải trọngđơn giản. Nhờ phương pháp số người ta đã xác định được giá trị bằng số của các hàm nghiệm tạimột số điểm trong vật thể, từ đó nội suy cho các điểm còn lại. Một trong các phương pháp sốđược sử dụng rộng rãi và hiệu quả là phương pháp Phần tử hữu hạn. Trong phần này sẽ giới thiệucách dùng phương pháp Phần tử hữu hạn để giải các bài toán trên.Phương pháp Phần tử hữu hạn là một phương pháp tính đang được áp dụng hết sức rộng rãihiện nay trên thế giới, vì phương pháp này rất thuận tiện cho việc áp dụng máy tính điện tử; chophép tính kết cấu với những sơ đồ tính toán khá phức tạp, phản ánh tương đối đầy đủ tình hìnhlàm việc của kết cấu thực; cho phép tự động hóa tính toán kết cấu, tiết kiệm được nhiều lao độngvà thời gian. Phương pháp này cho các kết quả bằng số tại các điểm cần tìm, thay cho việc tìm kếtquả là các hàm giải tích của các bài toán cơ học vật rắn biến dạng. Phương pháp này không chỉđược áp dụng trong lĩnh vực cơ học vật rắn biến dạng, mà còn trong nhiều lĩnh vực khác.Trong phạm vi hết sức hạn chế của một chương của giáo trình, ta sẽ chỉ đề cập tới nội dungcơ bản của phương pháp và sẽ được trình bày thông qua bài toán phẳng của Lý thuyết đàn hồi.4.1.1 Rời rạc hóa sơ đồ tính. Véc tơ chuyển vị nút, véc tơ ngoại lực nút, véc tơ phảnlực liên kết nútTrong phương pháp phần tử hữu hạn, áp dụng biện pháp rời rạc hóa. Một kết cấu liên tụcđược coi là tập hợp các phần tử nối với nhau tại các điểm nút. Trên hình 4-1 a, b, c cho thấy hệthanh gồm các phần tử là các thanh thẳng được nối với nhau bởi các nút khớp hoặc nút cứng tạiđầu thanh .Trên hình 4-1 f, i cho hình ảnh các phần tử của bản phẳng, của vật thể khối.Nút phần tử được đặc trưng bởi số bậc tự do của nó. Đó là các chuyển vị thẳng của nút (ui,vi)hay đạo hàm của nó (góc xoay ϕi), chúng được gọi là thông số chuyển vị nút. Toàn bộ m chuyểnvị nút của một phần tử được đánh số và sắp xếp theo thứ tự thành véc tơ chuyển vị nút của mộtphần tử:⎧δ 1 ⎫⎪δ ⎪⎪ ⎪(a){δ }e = ⎨ 2 ⎬M ⎪⎪⎪δ m ⎪⎩ ⎭Xét phần tử tam giác ba điểm nút của bản phẳng trên hình 4-1g véc tơ chuyển vị nút củaphần tử này là:a)jie)c)b)iuig)jijvjvi2ujiiϕi vijyujvj ϕixi)jk6f)h)i5d)ui43Hình 4-1⎧δ 1 ⎫ ⎧ u i ⎫⎪δ ⎪ ⎪ v ⎪⎪ 2⎪ ⎪ i ⎪⎪δ ⎪ ⎪u ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪{δ }e = ⎨ 3 ⎬ = ⎨ j ⎬⎪δ 4 ⎪ ⎪v j ⎪⎪δ 5 ⎪ ⎪u k ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪δ 6 ⎪ ⎪v k ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭Còn véc tơ chuyển vị nút của phần tử thanh i-j hai đầu nút khớp và hai đầu nút cứng trênhình 4-1b, d lần lượt có kích thước là (4 x 1) và (6 x 1):⎧δ 1 ⎫ ⎧u i ⎫⎪δ ⎪ ⎪v ⎪⎧δ 1 ⎫ ⎧u i ⎫⎪ 2⎪ ⎪ i ⎪⎪δ ⎪ ⎪v ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪δ 3 ⎪ ⎪ϕ i ⎪⎪ 2⎪ ⎪ i ⎪{δ }e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ;{δ }e = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬u⎪δ 4 ⎪ ⎪ j ⎪⎪δ 3 ⎪ ⎪u j ⎪⎪δ 5 ⎪ ⎪v j ⎪⎪δ 4 ⎪ ⎪v j ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪δ 6 ⎪ ⎪ϕ j ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭Hình 4-1g cho thấy một phần tử tam giác của bản phẳng và các chuyển vị nút của nó.Toàn bộ n chuyển vị nút của một hệ được đánh số và sắp xếp theo thứ tự thành một véc tơchuyển vị của toàn kết cấu:⎧Δ 1 ⎫⎪Δ ⎪⎪ ⎪{Δ} = ⎨ 2 ⎬⎪M ⎪⎪Δ n ⎪⎩ ⎭(b)Nút của một phần tử không nhất thiết phải ở tại các đỉnh của phần tử, mà còn có thể nằmtrên các biên của phần tử; hình 4-1h cho thấy một phần tử tam giác của bản phẳng gồm 6 nút vàvéc tơ chuyển vị nút có kích thước (12 x 1).Khi tính toán, tải trọng tác dụng trên hệ được thay thế bằng một hệ lực tập trung (P, M) đặttại các điểm nút, có các thành phần tương ứng với chuyển vị nút. Với một phần tử, véc tơ tảitrọng nút {f}e (lực nút do tải trọng) tương ứng với véc tơ chuyển vị nút {δ}e của phần tử. Còn vớitoàn kết cấu, tương ứng với véc tơ chuyển vị nút {Δ} có véc tơ tải trọng nút {F}.Khi rời rạc hóa kết cấu, số lượng phần tử được phân chia càng lớn, kích thước phần tử càngnhỏ thì mức độ chính xác càng cao; song số lượng phần tử của hệ cũng như kích thước của phầntử nhất thiết phải là hữu hạn.Tại mỗi nút, tất cả các phần tử nối vào nó đều có cùng chung một chuyển vị, nên điều kiệnliên tục đã được đảm bảo tại các nút.Khi tách xét riêng một phần tử (hình 4-2a), có thể xem giữa phần tử xét và các phần tử lâncận được liên kết với nhau bằng các thanh liên kết tại các điểm nút. Phản lực trong các thanh liên{}kết nút (lực nút) và chuyển vị nút δ{}elà tương ứng với nhau và lập thành véc tơ phản lực liên kếtnút N e .Trong toàn thể kết cấu ta có một hệ tọa độ chung để xác định vị trí của tất cả các bộ ...