PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ THỰC

Tập hợp là một khái niệm toán học cơ bản không được định nghĩa. Ta hiểu tập hợp là các vật hay các đối tượng có thể liệt kê ra được hoặc có cùng một tính chất chung nào đó. Các đối tượng lập nên một tập gọi là phần tử của tập hợp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ THỰC TrÇn v¨n minh _nguyÔn cao nh¹c NguyÔn huy hoµng_PhÝ thÞ v©n anh ®Æng thÞ mai . PhÐp tÝnh gi¶i tÝch HµM mét biÕn sè thùc (Tµi liÖu to¸n A2 dïng cho c¸n bé, sinh viªn c¸c ngµnh kü thuËt vµ kinh tÕ ) nhµ xuÊt b¶n giao th«ng vËn t¶i hµ néi- 2003 Ch¬ng I TËp hîp-¸nh x¹- tËp sè thùc1.1 TËp hîp1. Kh¸i niÖm vÒ tËp hîp TËp hîp lµ mét kh¸i niÖm to¸n häc c¬ b¶n kh«ng ®îc ®Þnh nghÜa. Ta hiÓu tËp hîp lµ c¸c vËthay c¸c ®èi tîng cã thÓ liÖt kª ra ®îc hoÆc cã cïng mét tÝnh chÊt chung nµo ®ã. C¸c ®èi tîng lËp nªn mét tËp gäi lµ phÇn tö cña tËp hîp. Mét tËp hîp thêng ®îc ký hiÖu b»ng c¸c ch÷ c¸i in hoa: A,B,C...Cßn c¸c phÇn tö cña tËp hîpthêng ®îc ký hiÖu b»ng c¸c ch÷ in thêng: a,b,..,x,y,z....NÕu x lµ phÇn tö thuéc tËp X ta ký hiÖux∈X, cßn x kh«ng lµ phÇn tö thuéc tËp X ta ký hiÖu x∉X. TËp A gåm c¸c phÇn tö x cã tÝnh chÊt p ký hiÖu A={x| p(x)} hay A={x:p(x)} VÝ dô 1.1: a. N lµ tËp c¸c sè tù nhiªn: N={0,1,2,...,n,...}. b. Z lµ tËp c¸c sè nguyªn: Z={0,+1,-1,+2,-2,...}. c. Q lµ tËp c¸c sè h÷u tØ: Q={p/q| p,q ∈Z;q≠ 0}. d. Pn(t)={x(t)=a0+a1t+...+antn| ai∈R} lµ tËp c¸c ®a thøc bËc kh«ng lín h¬n n víi c¸c hÖ sèthùc. e. C[0,1]={x(t)| x(t) liªn tôc trªn [0,1]}.2. TËp con cña mét tËp hîp NÕu mäi phÇn tö cña tËp A ®Òu lµ phÇn tö cña tËp X th× ta nãi A lµ tËp con cña X vµ kýhiÖu: A⊂X. Hai tËp X, Y ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu X⊂Y vµ Y⊂X, ký hiÖu X=Y. Mét tËp hîpkh«ng cã phÇn tö nµo ta gäi lµ tËp hîp rçng, ký hiÖu ∅. Ta thÊy: N ⊂Z ⊂Q vµ Pn(t) ⊂ C[0,1]. VÝ dô 1.2: A={x| x2+1=0,x∈R}=∅.3. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp a. PhÐp hîp: Ta gäi hîp cña hai tËp A,B lµ tËp hîp, ký hiÖu A∪B, gåm c¸c phÇn tö thuéc ÝtnhÊt mét trong hai tËp A hoÆc B. A∪B ={x| x∈A hoÆc x∈B} b. PhÐp giao: Giao cña hai tËp A,B lµ tËp hîp, ký hiÖu A∩B, gåm c¸c phÇn tö thuéc ®ångthêi c¶ A vµ B. 1 A∩B ={x| x∈A vµ x∈B} c. HiÖu cña hai tËp hîp: HiÖu cña A vµ B lµ tËp hîp, ký hiÖu AB, gåm c¸c phÇn tö thuéc Anhng kh«ng thuéc B. AB ={x| x∈A, x∉B} d. PhÇn bï: NÕu A⊂X th× XA gäi lµ phÇn bï cña A trong X, ký hiÖu CxA. Chó ý: C¸c phÐp to¸n hîp vµ giao cã thÓ suy cho mét sè tuú ý c¸c tËp hîp. e. C¸c tÝnh chÊt: C¸c phÐp to¸n cña tËp hîp cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. Giao ho¸n A∪B = B∪A , A∩B = B∩A 2. KÕt hîp (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) 3. Ph©n phèi A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 4. C«ng thøc De Morgan X (A∪B) = (XA) ∩(XB) X (A∩B) = (XA)∪(XB)c«ng thøc De Morgan ®óng cho mét hä tuú ý c¸c tËp hîp. f. TÝch §Ò c¸c cña c¸c tËp hîp §Þnh nghÜa 1: Cho hai tËp X,Y ta gäi tÝch §Ò c¸c cña X vµ Y lµ tËp hîp, ký hiÖu X× Y gåmc¸c phÇn tö s¾p thø tù (x,y) sao cho x∈X, y∈Y. Nh vËy: X× Y ={(x,y) | x∈X, y∈Y} Më réng cho tÝch §Ò c¸c cña n tËp hîp ta cã: X1× X2× ...× Xn ={(x1,x2,...,xn) | xi∈Xi (i= 1, n )} Khi X1= X2=...= Xn= X ký hiÖu X1× X2× ...× Xn =Xn Hai phÇn tö b»ng nhau: Cho (x1,x2,...,xn), (x’1,x’2,...,x’n)∈ X1× X2× ...× Xnta ®Þnh nghÜa: (x1,x2,...,xn)= (x’1,x’2,...,x’n)⇔ xi=x’i (i= 1, n ) VÝ dô 1.3: a. Cho X={0,1}, khi ®ã: X2=X× X={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} b. Rn={(x1,x2,...,xn)| xi∈R, i= 1, n }1.2 ¸nh x¹1. C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 2: Cho hai tËp X,Y, mét ¸nh x¹ f tõ X vµo Y lµ mét quy t¾c cho øng mçi phÇn töx∈X víi mét phÇn tö y=f(x) ∈Y x¸c ®Þnh trªn Y. Ký hiÖu: f: X→Y, x  y=f(x) X gäi lµ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh cña f. Víi A⊂X tËp f(A)={f(x)∈Y| x∈A}gäi lµ ¶nh cña tËpA qua ¸nh x¹ f. Khi ®ã tËp f(X) gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña f. Víi B⊂Y tËp f -1(B)={x∈X| f(x)∈B} gäi lµ nghÞch ¶nh cña tËp B.TËp {(x,f(x))| x∈X}⊂ X× Y gäi lµ ®å thÞ cña f.2. §¬n ¸nh, Toµn ¸nh, Song ¸nh §Þnh nghÜa 3: ¸nh x¹ f: X→Y - Gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu tõ f(x1)=f(x2) suy ra x1=x2. - Gäi lµ toµn ¸nh nÕu f(X)=Y. - Gäi lµ song ¸nh nÕu f võa lµ ®¬n ¸nh võa lµ toµn ¸nh. VÝ dô 1.4: (i) f: N→N : f(n)=2n+1 lµ mét ®¬n ¸nh. (ii) f: R→R+ : f(x)=x2 lµ toµn ¸nh nhng kh«ng lµ ®¬n ¸nh. (iii) Ix: X→X Ix (x)=x lµ mét song ¸nh trªn X vµ gäi lµ ¸nh x¹®ång nhÊt.3. TÝch c¸c ¸nh x¹ 2 §Þnh nghÜa 4: Cho f: X→Y vµ g: Y→Z lµ hai ¸nh x¹, khi ®ãh: X→Z ®îc x¸c ®Þnh bëi h(x)=g(f(x)) ®îc gäi lµ tÝch cña hai ¸nh x¹ f vµ g vµ viÕt h=gof. HÖ qu¶ 1: Cho hai ¸nh x¹: f: X→Y vµ g: Y→Z, khi ®ã: a. NÕu h=gof lµ ®¬n ¸nh th× f lµ ®¬n ¸nh. b. NÕu h=gof lµ toµn ¸nh th× g lµ toµn ¸nh. Chøng minh: a. f(x1)=f(x2)⇒ g(f(x1))=g(f(x2)) ⇒h( ...