Phép tính Tenxơ_chương 1

Cơ học môi trường liên tục (CHMTLT) nghiên cứu các đại lượng vật lýmang tính độc lập với mọi hệ tọa độ biểu diễn chúng. Các đại lượng vật lý nàyđược xác định bởi một hệ tọa độ thích hợp. Theo toán học những đại lượng nhưvậy được biểu diễn bởi ten-xơ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phép tính Tenxơ_chương 1Cơ học môi trường liên tục 1 GVC Trần Minh ThuậnChương 1 PHÉP TÍNH TEN-XƠ1.1. TEN-XƠ VÀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC: Cơ học môi trường liên tục (CHMTLT) nghiên cứu các đại lượng vật lýmang tính độc lập với mọi hệ tọa độ biểu diễn chúng. Các đại lượng vật lý nàyđược xác định bởi một hệ tọa độ thích hợp. Theo toán học những đại lượng nhưvậy được biểu diễn bởi ten-xơ. Ten-xơ hiện hữu độc lập với hệ tọa độ bất kỳ và được xác định trong mộthệ tọa độ bởi các thành phần của nó. Định rõ các thành phần của ten-xơ trong 1hệ tọa độ sẽ xác định được các thành phần của nó trong các hệ tọa độ khác. Định luật biến đổi các thành phần của một ten-xơ được sử dụng ở đây nhưlà công cụ để xác định ten-xơ. Định luật vật lý của cơ học môi trường liên tục được biểu diễn bởi cácphương trình ten-xơ. Bởi vì sự biến đổi của ten-xơ thì tuyến tính và đồng nhất.Những phương trình ten-xơ như vậy nếu nó có hiệu lực trong một hệ tọa độ thì sẽhiệu lực đối với mọi hệ tọa độ khác. Sự bất biến của phương trình ten-xơ dướiphéïp biến đổi tọa độ là trọng điểm của phương pháp ten-xơ trong cơ học môitrường liên tục.1.2. TEN-XƠ TỔNG QUÁT _ TEN-XƠ DESCARTES _ HẠNG CỦA TEN-XƠ: - Ten-xơ tổng quát: là các ten-xơ được xét trong các hệ tọa độ cong bất kỳ. - Ten-xơ Descartes: là các ten-xơ được giới hạn trong các phéïp biến đổihệ tọa độ đồng nhất với nhau. - Hạng của ten-xơ: Trong không gian Euclide 3 chiều, chẳng hạn như Nkhông gian vật lý thông thường, số thành phần của ten-xơ là 3 , N được gọi là bậchay hạng của ten-xơ. Nghĩa là: * ten-xơ hạng zero sẽ được xác định trong bất cứ hệ tọa độ không gian 3chiều nào bởi 1 thành phần và được gọi là số vô hướng. * ten-xơ hạng nhất sẽ có 3 thành phần tọa độ trong không gian vật lý, đượcgọi là véc-tơ, nhằm biểu diễn các đại lượng vật lý có ý nghĩa cả về độ lớn vàchiều. * ten-xơ hạng hai tương ứng với nhị thức (dyadics). Nhiều đại lượng quantrọng trong CHMTLT được biểu diễn bởi ten-xơ hạng 2 (có 9 thành phần trong hệtọa độ Descartes). * các ten-xơ hạng cao hơn như hạng ba (triadics) hoặc hạng tư (tetradics)được định nghĩa và xuất hiện trong toán học của CHMTLT.1.3. VÉC-TƠ VÀ SỐ VÔ HƯỚNG:1.3.1. Véc-tơ: Các đại lượng vật lý như là: lực, vận tốc,..hàm chứa cường độ vàchiều, được biểu diễn trong không gian 3 chiều bởi các đoạn thẳng có định hướngvà tuân theo luật hình bình hành về phéïp cộng véc-tơ. Đó là sự biểu diễn hìnhhọc của ten-xơ hạng nhất, được gọi là véc-tơ, bao gồm các loại như sau: - Véc-tơ đơn vị (ê): là véc-tơ có độ lớn là 1 đơn vị. - Véc-tơ hoành vi: là các véc-tơ có cùng độ lớn, phương và chiều. - Véc-tơ đối đẳng: là các véc tơ có cùng độ lớn, cùng phương nhưngngược chiều.Cơ học môi trường liên tục 2 GVC Trần Minh Thuận r Ký hiệu: Véc tơ được ký hiệu bởi các chữ cái thường và in đậm a, hoặc a ,độ lớn của véc tơ được ký hiệu bởi chữ thường a hoặc a .1.3.2. Số vô hướng: Các đại lượng vật lý như: khối lượng và năng lượng,... chỉcó ý nghĩa về độ lớn nên được biểu diễn bởi các ten-xơ hạng zero, gọi là số vôhướng. Ký hiệu: bởi các chữ thường như a, b, l.1.4. CÁC PHÉP TÍNH VÉC TƠ VÀ SỐ VÔ HƯỚNG:1.4.1. Cộng véc tơ : tuân theo luật hình bình hành, phéïp trừ véc tơ tuân theo luậttam giác.Phép cộng véc tơ có tính giao hoán và kết hợp. r r r r r r r r r r r r r r r r r c = a + b = b + a ; d = a - b = _b + a ; (a + b ) + c = a + (b + c) = g [1.1] a+b=c a-b=d [a+b]+c=g -b b c a+b a a e f c d g a bHình 1. Biểu diễn phép cộng của các véc tơ. 0≤θ≤π v a×b=v a a θ θ b bHình 2. Biểu diễn các phéïp nhân của các véc tơ.1.4.2. Nhân véc tơ cho một số vô hướng: tạo thành một véc tơ mới có cùngphương nhưng khác về độ lớn. Luật nhân véc tơ có tính kết hợp và phân bố. r r r m(nb) = n(mb) = (mn)b r r r r (m + n)b = (n + m)b = mb + nb [1.2] r r r ...