Phép tính vi phân hàm một biến

. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM Cho hàm số f : D lân cận V và x là điểm trong của D, nghĩa là có f (s) f ( x) s x có giới hạn khi s x thì giá trị của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại x và được ký hiệu là f ( x) , nghĩa là, (x ,x ) của x chứa trong D. Nếu tỉ số f ( x) f (s) s x s lim f ( x) x h lim f (x 0 h)...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phép tính vi phân hàm một biến Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Chương I: Phép tính vi phân hàm một biến1.1. Hàm số và giới hạn của hàm số: 1.1.1. Hàm số:Định nghĩa: Cho X là một tập con của tập số th ực ﾡ . Một hàm số xác định trên Xlà một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x X với một giá trị duy nhất f(x) ﾡ .Ký hiệu: f : X ﾡ x a y = f (x) X được gọi là tập xác định của hàm số f. Tập hợp { f (x) x X} được gọi là tập giá trị của hàm số f.Đồ thị của hàm số:Cho hàm số f có tập xác định X. Tập h ợp tất cả các đi ểm ( x, f ( x ) ) với x X đượcgọi là đồ thị của hàm số f.Hàm số đơn điệu:Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). ■ Nếu ∀x1 , x 2 � a, b ) , x1 < x 2 � f ( x1 ) < f ( x 2 ) thì f được gọi là hàm số tăng (trên khoảng (a, b). ■ Nếu ∀x1 , x 2 � a, b ) , x1 < x 2 � f ( x1 ) > f ( x 2 ) thì f được gọi là hàm số giảm (trên khoảng (a, b).Hàm số chẵn, hàm số lẻ:Cho hàm số xác định trên tập hợp X. ∀x �� − x �X X ■ f được gọi là hàm số chẵn nếu f ( − x) = f (x) ∀x �� − x �X X ■ f được gọi là hàm số lẻ nếu f ( − x) = −f (x) 1 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấpĐồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng quagốc tọa độ. 1.1.2. Giới hạn của hàm số một biến:Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) có th ể tr ừ ra đi ểm ( a, b ) . Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là A khi x tiến tớix0 x 0 nếu với mọi dãy = x 0 ta đều có lim f ( x n ) = A{ x } ( a, b ) { x } , lim x n n 0 n nKý hiệu: lim f ( x ) = A � ∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < x − x 0 < δ � f (x) − A < ε xx 0Các phép toán về giới hạn: Cho f(x), g(x) là hai hàm số có giới hạn khi x x 0 . Khi đó: i) lim [ f (x) g(x) ] = lim f (x) lim g(x) x x0 x x0 x x0 ii) lim [ f (x)g(x) ] = lim f (x).lim g(x) xx xx xx 0 0 0 f (x) lim f (x) ( lim g(x) 0) = xx iii) lim 0 g(x) lim g(x) xx x x0 0 xx 0 lim g( x ) iv) lim [ f (x) ] = � x f (x) � g( x ) x x0 lim � � xx x 0 0Một số giới hạn cơ bản: a) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và x 0 thuộc miền xác định của nó thì:lim f (x) = f ( x 0 )xx 0 b) xlim e = + , xlim e = 0 x x + − c) x 0 ln x = − , xlim ln x = + lim + + d) lim c = c xx 0 s inx =1 e) lim x x0 2 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp ex − 1 =1 f) lim x x0 x � 1� g) lim �+ �= e ...