Phụ lục B: Hệ động lực hồi quy và hệ động lực tuần hoàn

Ma trận lũy linh và ma trận tuần hoàn là các vấn đề đã được đề cập đến. Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu, khai thác mặt ứng dụng của chúng; chẳng hạn như nếu ma trận cộng đồng trong các hệ sinh học là ma trận lũy linh hay tuần hoàn thì dáng điệu của hệ khi thời gian ra vô cùng sẽ dễ dàng nhận được nhờ tính chất đặc biệt của ma trận này
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phụ lục B: Hệ động lực hồi quy và hệ động lực tuần hoànPh l c BH đ ng l c h i quy và h đ ngl c tu n hoànQ-1 Ma tr n lũy linh Ma tr n lũy linh và ma tr n tu n hoàn là các v n đ đã đư c đ c p đ n.Trong chương này, chúng ta s nghiên c u, khai thác m t ng d ng c a chúng;ch ng h n như n u ma tr n c ng đ ng trong các h sinh h c là ma tr n lulinh hay tu n hoàn thì dáng đi u c a h khi th i gian ra vô cùng s d dàngnh n đư c nh tính ch t đ c bi t c a các ma tr n này. M t khác, s d ngkhai tri n Jordan chúng ta có th tìm đư c công th c nghi m tư ng minh vàm t m t phép ch ng minh m i v tính n đ nh nghi m c a h đ ng l c (cr i r c và liên t c).Đ nh nghĩa Q.5. Ma tr n vuông A đư c g i là ma tr n lũy linh n u t n t is nguyên dương p sao cho Ap = 0 ( đây 0 là ma tr n không). Đa th c đ ctrưng c a ma tr n đư c đ nh nghĩa b i χA (λ) = det(λI − A).Đ nh lý Q.9. Cho A là m t ma tr n vuông c n × n trên trư ng b t kỳ. Ththì, A là ma tr n lũy linh n u và ch n u χA (λ) = λn . 539540 Ph l c BCh ng minh. N u đa th c đ c trưng c a ma tr n A có d ng λn thì áp d ngđ nh lý Caley - Hamilton ta đư c An = 0. V y A là ma tr n lu linh. Đ ch ngminh ph n đ o l i c a đ nh lý ta nh n xét r ng v i trư ng k b t kỳ luôn t nt i trư ng K là m r ng c a trư ng k sao cho trong K m i đa th c v i h strong k có đ nghi m, t c K là trư ng đóng đ i s . Vì th , không m t tínht ng quát, ta gi s trư ng đã cho là trư ng đóng đ i s . Kí hi u λ là m t giátr riêng c a ma tr n lu linh A ng v i véc tơ riêng v c a A. Khi đó Av = λv.Theo gi thi t A là ma tr n lũy linh nên t n t i s nguyên dương p > 1 saocho Ap = 0. Do đó Apv = λp v = 0. Nhưng véc tơ riêng v không th b ng 0 nênλp = 0. Suy ra λ = 0. V y đa th c đ c trưng c a A ph i có d ng λn . Đ nh lýđư c ch ng minh.Nh n xét Q.3. Nh n xét r ng, n u k là trư ng s th c R ho c trư ng sph c C thì ta có phép ch ng minh khác. Th t v y, vì k là không gian Banachnên theo đ nh lý c a Gelfand, bán kính ph 1 ρ(A) = sup{| λ |: λ ∈ σ(A)} = lim || An || n . n→∞Mà A là ma tr n lũy linh nên t n t i s nguyên dương p > 1 sao cho Ap = 0.Do v y ρ(A) = 0 nên λ = 0. V y đa th c đ c trưng c a A ph i có d ng λn . K t h p đ nh lý này v i đ nh lý Caley - Hamilton ta cóH qu Q.2. N u A là m t ma tr n lũy linh c (n × n), thì ta có An = 0.Nh n xét Q.4. H qu này nói r ng n u ta c n ki m tra tính lu linh c am t ma tr n n × n thì ch c n tính đ n lu th a th n c a nó là đ . N u t ilu th a n mà v n chưa nh n đư c ma tr n 0 thì ma tr n đó ch c ch n khôngth là ma tr n lu linh đư c. Hơn n a ta c n chú ý r ng t ng cũng như tíchc a hai ma tr n lu linh không nh t thi t ph i là lu linh. Th t v y xét hai matr n lu linh (2 × 2) sau đây 0 1 0 0 A= 0 0 và B= 1 0 .Q-1. Ma tr n lũy linh 541Ta có A2 = B 2 = 0, do đó A và B là các ma tr n lũy linh. Nhưng c t ng 0 1 1 0 A+B = 1 0 và tích AB = 0 0không là ma tr n lu linh vì (A + B)2 = I (ma tr n đơn v ) và (AB)2 = AB.(Cũng có th tính tr c ti p đư c đa th c đ c trưng c a A + B là λ2 − 1 và đath c đ c trưng c a AB là λ2 − λ nên chúng không th là lu linh). M t khácnh n th y r ng n u hai ma tr n lu linh A và B là t a giao hoán v i nhau(AB = λ · BA) thì rõ ràng c t ng và tích c a chúng là lu linh. Đ o l i ta cóhai m nh đ quan tr ng sau đây:M nh đ Q.1. N u A, B và A + B là các ma tr n lũy linh c (2 × 2) thì tacó AB = −BA. T đó, AB và BA là các ma tr n lũy linh.Ch ng minh. Theo đ nh lý Q.9 ta có A2 = B 2 = (A + B)2 = 0. Vì v y, AB +BA = 0, do đó AB = −BA. T đó suy ra, (AB)2 = ABAB = −AABB = 0,do đó AB là ma tr n lũy linh. Tương t ta thu đư c BA là ma tr n lũy linh.M nh đ đư c ch ng minhM nh đ Q.2. N u A, B và AB, BA là các ma tr n lũy linh c (2 × 2) thìA + B là ma tr n lũy linh và ta cũng thu đư c AB = −BA.Ch ng minh. Ta có (A + B)2 = A2 + AB + BA + B 2 = AB + BA.T đó, (A + B)4 = (AB + BA)2 = (AB)2 + ABBA + BAAB + (BA)2 = 0.Đi u này ch ng t A + B là ma tr n lũy linh và nh m nh đ trên ta thu đư cAB = −BA. M nh đ đư c ch ng minh.Nh n xét Q.5. Đ i v i nh ng ma tr n lu linh c l n hơn 2 × 2 thì m nh đQ.1 và Q.2 không còn đúng. Ta l y các ví d như sau:542 Ph l c B 0 0 0 0 −2 1Ví d Q.22. V i A = 2 0 0 và B = 0 0 1 . D ki m 2 2 0 0 0 0tra đư c A, B, A + B là cá ...