Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Schur

Tham khảo tài liệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức schur, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Schur Cao Văn DũngSV: L p K50A1s-Sp Toán – Khoa Sư Ph m – ĐHQGHN Nhi u Cách Đ Ch ng Minh Cho B t Đ ng Th c SchurB t đ ng th c Schur là m t b t đ ng th c ch t và đ p m t có nhi u ng d ng đgi i toán, nhưng khi áp d ng nó thì ph i ch ng minh nó xong r i m i đư c áp d ng.Bài vi t này xin nêu ra m t s cách đ ch ng minh, mong b n đ c có them nhi ucách hay khác n a đóng góp đ cho bài vi t tr nên phong phú hơn.Ta có bài toán b t đ ng th c Schur: V i các s th c không âm a,b,c ta luôn có b tđ ng th c sau: a(a − b )(a − c ) + b(b − c )(b − a ) + c(c − a )(c − b ) ≥ 0 .CM:Cách 1: (Đ t n ph )Do vai trò c a a,b,c là như nhau nên ta có th gi s a ≥ b ≥ c .Đ t x = a − b ≥ 0; y = b − c ≥ 0 nên b t đ ng th c đư c vi t l i thành:c( x + y ) y − (c + y )xy + (c + x + y )x( x + y ) ≥ 0. ( )⇔ c x 2 + xy + y 2 + x 2 ( x + 2 y ) ≥ 0 luôn đúng do x,y,c là các s không âm.D u “=” x y ra khi a = b = c ho c a = b; c = 0 ho c các hoán v c a nó.Cách 2:Do vai trò c a a,b,c là như nhau nên ta có th gi s a ≥ b ≥ c .TH: 2 trong 3 s a,b,c b ng nhau thì b t đ ng th c hi n nhiên đúng.TH: a > b > c ta chia v trái b t đ ng th c cho (a − b )(b − c )(a − c ) > 0 nên b t đ ng th c a b ctương đương: − + > 0 b t đ ng th c trên luôn đúng do b−c a−c a−b  a>b>0 a b  ⇒ > . 0 < b − c < a − c b − c a − cCách 3: (Kh o sát hàm)Do vai trò c a a,b,c là như nhau nên ta có th gi s a ≥ b ≥ c .B t đ ng th c trên đư c vi t l i:a + b + c + 3abc − ab(a + b ) − bc(b + c ) − ca(c + a ) ≥ 0. . 3 3 3Ta xét hàm s sau: f (a) = a 3 + b 3 + c 3 + 3abc − ab(a + b ) − bc (b + c ) − ca (c + a ) 1Ta có 2 2 2 ( 2 ) ( 2 2 ) f ( x) = 3a + 3bc − 2ab − b − 2ac − c = a − b + 2a − 2ab + (2bc − 2ac ) + bc − c ( 2 ) = (a − b )(a + b ) + 2a(a − b ) − 2c(a − b ) + c(b − c ) = (a − b )(a + b + 2a − 2c ) + c(b − c ) ≥ 0Nên f (x ) đ ng bi nNên f (a ) ≥ f (b ) = c 3 + 3a 2 c − 2ac(a + c ) = c (a − c ) ≥ 0. 2V y b t đ ng th c đư c ch ng minh xong.Cách 4: (Đánh giá)Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta gi s a ≥ b ≥ c .Khi đó ta có: c(c − a )(c − b ) ≥ 0 .Ta xét: a(a − c ) − b(b − c ) = a 2 − ac − b 2 + bc = (a − b )(a + b − c ) ≥ 0 . ⇒ a(a − b )(a − c ) − b(b − c )(a − b ) ≥ 0 ⇔ a (a − b )(a − c ) + b(b − c )(b − a ) ≥ 0 .V y c ng 2 b t đ ng th c trên ta đư c đi u ph i ch ng minh .Cách 5: (D n bi n)Do vai trò a,b,c là như nhau nên ta gi s a ≤ b ≤ c.Ta xét hàm s : f (a, b, c ) = a 3 + b 3 + c 3 + 3abc − ab(a + b ) − bc(b + c ) − ca(c + a )Ta có  b+c b+c  5   b+c b+c f (a, b, c ) − f  a,  =  b + c − a (b − c ) ≥ 0 ⇒ f (a, b, c ) ≥ f  a, 2 , , .  2 2   4   2 2 Như v y đ ch ng minh b t đ ng th c trên ta ch c n ch ng minh f (a, b, b ) ≥ 0Mà f (a, b, b ) = a 3 + ab 2 − 2a 2 b = a(a − b ) ≥ 0. 2V y b t đ ng th c trên đư c ch ng minh xong.Tài li u tham kh o.[1]. Ph m Kim Hùng, 2006, Sáng t o b t đ ng th c, NXB Tri Th c.[2]. Cao Văn Dũng, Nhi u cách đ ch ng minh cho b t đ ng th c Schur, T p chí toánh c tu i thơ 2 tháng 7/ 2008, NXB GD. 2