Phương pháp collocation với cơ sở B-spline bậc năm giải phương trình truyền nhiệt một chiều

Bài viết trình bày nghiên cứu cách giải phương trình truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp collocation với cơ sở là các hàm B-spline bậc năm. Sự ổn định Von Neumann của lược đồ sai phân và so sánh kết quả giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ cũng được trình bày.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp collocation với cơ sở B-spline bậc năm giải phương trình truyền nhiệt một chiều128 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI PHƢƠNG PHÁP COLLOCATION VỚI CƠ SỞ B-SPLINE BẬC NĂM GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU Nguyễn V n Tuấn1, Nguyễn Thị Thư Hòa Trường Đại học Thủ đô Hà Nội Tóm tắt: Trong bài báo này chúng ta nghiên cứu cách giải phương trình truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp collocation với cơ sở là các hàm B-spline bậc năm. Sự ổn định Von Neumann của lược đồ sai phân và so sánh kết quả giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ cũng được trình bày. Từ khóa: Phương pháp spline collocation, Quintic B – spline, phương pháp phần tử hữu hạn.1. MỞ ĐẦU Xét phương trình truyền nhiệt một chiều dạng: (1)với điều kiện đầu: u(x,0) = f(x) (2)và các điều kiện biên: { (3) Trong đó: là các hằng số, là các hàm số liên tục với Phương trình (1) với các điều kiện (2), (3) mô tả dòng nhiệt trong vật dẫn khối trụ. Cụthể qua nghiên cứu ch ng ta có thể biết được dòng nhiệt trên một thanh dẫn chiều dài L vớisự khuếch tán của dòng nhiệt , là hệ số khuếch tán.1 Nhận bài ngày 24.03.2016; gửi phản biện và duyệt đăng ngày 10.05.2016 Liên hệ tác giả: Nguyễn Văn Tuấn; Email: nvtuan@daihocthudo.edu.vnTẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016 129 Ngoài ra, nhiều hiện tượng vật lí có thể lý giải khi giải phương trình (1) với các điềukiện khác nhau. Do vậy, các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu bàitoán (1) với các điều kiện (2) và (3) bằng nhiều cách giải khác nhau ([3], [4]). Trong bài báo này, ch ng ta nghiên cứu giải gần đ ng bài toán trên bằng phương phápcollocation với cơ sở là các hàm B-spline bậc năm.2. NỘI DUNG2.1. Phương pháp spline collocation Giả sử chia đoạn [a, b] thành N phân bằng nhau bởi các điểm n t: a = x0 < x1 < … < xN = b, h = (b – a)/N. Xác định các hàm B-spline cơ sở bậc 5 ([6]) như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { Tập các hàm N tạo thành một cơ sở các hàm B – spline bậc 5xác định trên [a, b]. Giá trị của và các đạo hàm bậc nhất, bậc hai của nó tại xj đượcxác định theo bảng 1 ( và các đạo hàm bậc nhất, bậc hai của nó bằng 0 ngoài khoảng , Bảng 1. Giá trị của x 1 0 26 66 26 1 0 0 0 0 0 0130 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI Ch ng ta tìm nghiệm xấp xỉ U(x, t) của bài toán (1), (2), (3) của nghiệm đ ng u(x, t)dưới dạng: U ∑ (4)Trong đó: U U { U U (5) U U Sử dụng điều kiện collocation cho (5) tại các điểm xm, m = 0, …, N, ta có: U U N (6) Thay (4) vào (6) ta có: ∑ ∑ N (7) Giả sử là nội suy tuyến tính giữa hai mức thời gian n và n + 1 thì: trong đó và là các ẩn tại mức thời gian n. Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn ta có: Thay (8) vào (7) và chọn = ½ ta nhận được: ∑ ∑ { ...