Phương pháp giải hệ phương trình thường gặp

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Một số phương pháp giải hệ phương trình" sau đây để nắm được các phương pháp giải hệ phương trình như: hệ đối xứng loại 1, hệ đối xứng loại 2, hệ có yếu tố đẳng cấp,... Đồng thời, các bài tập có trong tài liệu sẽ giúp các em củng cố kiến thức và nâng cao khả năng giải các bài tập hơn. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp giải hệ phương trình thường gặp MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: a) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi b) Tính chất Nếu ( x0 , y0 ) là một nghiệm thì hệ ( y0 , x0 ) cũng là nghiệm  S= x + y c) Cách giải: Đặt  điều kiện S 2 ≥ 4 P quy hệ phương trình về 2  P = x. y ẩn S , P Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S , P từ đó suy ra qua hệ x, y . Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:  x + y + 2 xy =2  x + y = 3 3 19 a)  3 b)  ( x + y )( 8 + xy ) = 3 x + y = 8 2 2 ( x +=  c)  ( y ) 3 3 x 2 y + 3 xy 2 )  x + y − xy = d)  3  3 x + 3 y =6  x + 1 + y + 1 =4 Giải:  S= x + y a) Đặt  điều kiện S 2 ≥ 4 P hệ phương trình đã cho trở thành:  P = x. y THCS.TOANMATH.com  2−S  P =  S + 2 P = 2  2  ⇔  S ( S − 3P ) =  S  S 2 − 6 − 3S  = 2 8 8   2  ⇒ 2 S 3 + 3S 2 − 6 S − 16 = 0 ⇔ ( S − 2 ) ( 2 S 2 + 7 S + 8 ) = 0 ⇔ S = 2 ⇒ P = 0 Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình: X 2 − 2 X =0 ⇔ X =0, X =2  x 0= = x 2  ∨  y 2= = y 0  S= x + y b) Đặt  điều kiện S 2 ≥ 4 P hệ phương trình đã cho trở thành:  P = x. y  S ( S 2 − 3P ) =19  SP = −8S  SP = −8S S = 1  ⇔ 3 ⇔ 3 ⇔  S ( 8 + P ) = 2  S − 3 ( 2 − 8S ) = 19  S + 24 S − 25 = 0  P = −6 . Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình: X 2 − X − 6 =0 ⇔ X 1 =3; X 2 =−2 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( −2;3) , ( 3; −2 ) 2 ( a 3 + b3 )= 3 ( a 2b + b 2 a ) c) Đặt = a x,b = 3 3 y hệ đã cho trở thành:  .  a + b = 6  S= a + b Đặt  điều kiện S 2 ≥ 4 P thì hệ đã cho trở thành.  P = ab 2 ( S= − 3SP ) 3SP 2 ( 36 − 3P ) 3P 3 = S = 6  ⇔ ⇔ .  S = 6  S = 6 P = 8 Suy ra a, b là 2 nghiệm của phương trình: THCS.TOANMATH.com a = 2 ⇒ x = 8 a = 4 ⇒ x = 64 X 2 − 6 X + 8 = 0 ⇔ X 1 = 2; X 2 = 4 ⇒  ∨ b = 4 ⇒ y = 64 b = 2 ⇒ y = 8 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( 8;64 ) , ( 64;8 )  xy ≥ 0  S= x + y d) Điều kiện:  . Đặt  điều kiện S 2 ≥ 4 P hệ phương  x , y ≥ −1  P = x. y trình đã cho trở thành:  S − P = 3  S ≥ 3; P =( S − 3) 2   ⇔  2 S + ( S − 3) + 1 = 14 − S 2  S + 2 + 2 S + P + 1 =16 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3)2 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) ⇔ ⇔  2 4 ( S + 8S + 10 ) = 196 − 28S + S  S + 30 S − 52 = 2 2 0 S = 6 ⇔ . Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) . P = 9 ⇒ x = y = 3 Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:  2 2 xy  x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2 2 x + y + x + y = 1 a)  c)   x + y = 4  x + y = x2 − y ...