Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán ước lượng khoảng trong môn xác suất thống kê - 2

Vậy với độ tin cậy 95%, tối thiểu ứng cử viên A chiếm được 57% số phiếu bầu của cử tri A.b. Khoảng ước lượng của kỳ vọng a trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a;2 Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; Trường hợp đã biếtXét xác suất P với 1 - là độ tin cậy đã cho. Ta có(2) Vì X1, X2,…, Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn như nhau dạng N(a;2) nêncũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E() = a...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán ước lượng khoảng trong môn xác suất thống kê - 2Vậy với độ tin cậy 95%, tối thiểu ứng cử viên A chiếm được 57% số phiếu bầu củacử tri A. 2b. Khoảng ước lượng của kỳ vọng a trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a; ). 2 Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; ). Trường hợp đã biết Xét xác suất P với 1 - là độ tin cậy đã cho. Ta có (2)Vì X1, X2,…, Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn như nhau dạng 2 cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E( ) = a và phương saiN(a; ) nên . Vì vậy có phân phối chuẩn kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1.Nếu đặt thì từ (2) ta suy ravà từ đó .Giải ta nhận được khoảng ước lượng của a là Trường hợp chưa biết. Tương tự như trường hợp trên ta xét xác suất . Biến đổi vế trái (3)trong đó .Ta đã biết là độc lập với nhau; có phân phối chuẩn dạng 2 có phân phối (n - 1) với n - 1 bậc tự do.N(0;1) vàVì vậy =có phân phối Student với n - 1 bậc tự do.Nếu đặt thì từ (3) ta suy rahayVậy khoảng ước lượng của a với độ tin cậy 1 - làtrong đó t tra ở bảng phân phối Student với n - 1 bậc tự do và mức ý nghĩa .Khi kích thước mẫu n thì phân phối xác suất của tiến tới phânphối chuẩn N(0; 1). Vì vậy với n > 30 (ta xem như kích thước mẫu lớn) ta xấp xỉnó với phân phối chuẩn dạng N(0; 1) sao cho .Ví dụ 2.3. Quan sát chiều cao của 100 nam sinh vi ên trong một khoá học ta cóchiều cao trung bình là với độ lệch mẫu S = 8,25 Chứng minh. Vớiđộ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng của chiều cao trung bình của namsinh viên.Giải. Do n =100 khá lớn nên t được tra bảng chuẩn. Có t = 1,96. Từ đó 2 Khoảng ước lượng của phương sai trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a;  2 ). 2Từ kết quả có phân phối với n - 1 bậc tự do ta tìm khoảng ước 2lượng của bằng cách sau: Tìm t1, t2 sao choP[t1 £ t1 ] = 1 - và P[ > t2 ] = 2của với độ tin cậy 1 - làVí dụ 2.4. Để xác định chiều cao trung bình của các cây bạch đàn trong một khurừng, tiến hành đo ngẫu nhiên 35 cây và thu được kết quả sauChiều cao X 6,5 – 7,0 – 7,5 7,5 – 8,0 8,0 – 8,5 8,5 – 9,0 9,0 – 9,5(m) 7,0Số cây (ni) 2 4 10 11 5 3Giả thiết chiều cao của các cây bạch đàn là đại lượng ngẫu nhiên có phân phốichuẩn. Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng cho phương sai DX.Giải. Ta có và .Tra bảng tìm được t1 = = 47. Từ đó = 16,8 và t2 =