Phương pháp lặp giải bài toán biên tam điều hòa phi tuyến

Bằng cách đưa bài toán trên về một phương trình toán tử, sau đó sử dụng các định lý điểm bất động, chúng tôi đã thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. Tiếp theo, đề xuất một phương pháp lặp cả ở mức liên tục và mức rời rạc giải bài toán trên. Nhiều thí dụ minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp lặp giải bài toán biên tam điều hòa phi tuyến Kỷ yếu Hội nghị KHCN Quốc gia lần thứ XII về Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR); Huế, ngày 07-08/6/2019 DOI: 10.15625/vap.2019.00049 PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN TAM ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN Nguyễn Quốc Hưng1, Đặng Quang Á2, Vũ Vinh Quang3 1 Viện Toán ứng dụng và Tin học - Trƣờng ĐHBK Hà Nội 2 Trung tâm Tin học và Tính toán, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam 3 Trƣờng ĐHCNTT&TT - Đại học Thái Nguyên hung.nguyenquoc@hust.edu.vn, dangquanga@cic.vast.vn, vvquang@ictu.edu.vn TÓM TẮT: Trong báo cáo này, chúng tôi xét bài toán biên tam điều hòa dạng ( ) , trong đó là toán tử Laplace và là một miền bị chặn. Bài toán này xuất hiện trong mô hình hóa dòng chảy quay chậm của chất lỏng nhớt cao và cũng được sử dụng trong mô hình hóa hình học. Bằng cách đưa bài toán trên về một phương trình toán tử, sau đó sử dụng các định lý điểm bất động, chúng tôi đã thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. Tiếp theo, chúng tôi đề xuất một phương pháp lặp cả ở mức liên tục và mức rời rạc giải bài toán trên. Nhiều thí dụ minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp. Từ khóa: Phương trình tam điều hòa, bài toán biên phi tuyến, phương pháp lặp. I. GIỚI THIỆU Nhiều bài toán trong lĩnh vực vật lý, cơ học đƣợc mô tả bởi các phƣơng trình đạo hàm riêng (PDE) cấp cao. Loại phƣơng trình cấp cao thông dụng nhất là phƣơng trình song điều hòa (một loại phƣơng trình cấp bốn) - mô hình trong lý thuyết đàn hồi phẳng, lý thuyết bản mỏng [13], lý thuyết dòng chảy [11] và gần đây PDE cấp bốn còn xuất hiện trong phân tích ảnh và thiết kế hình học [14]. Loại phƣơng trình này đã đƣợc nghiên cứu nhiều kể cả về định tính lẫn định lƣợng. Mới đây, do nhu cầu phát triển của khoa học và công nghệ ngƣời ta bắt đầu quan tâm đến PDE cấp sáu mà tiêu biểu là phƣơng trình tam điều hòa (triharmonic equation) ( ). Ở đây là toán tử Laplace trong không gian 2 hoặc 3 chiều. Phƣơng trình này là mô hình của pha tinh thể [13], hay là mô hình hóa dòng chảy quay chậm của chất lỏng nhớt cao [12] và là công cụ hữu hiệu trong mô hình hóa hình học [14]. Do phƣơng trình tam điều hòa có nhiều ứng dụng trong thực tế nên ngƣời ta quan tâm nhiều đến phƣơng pháp giải các bài toán biên cho phƣơng trình này với giả thiết rằng bài toán có nghiệm duy nhất và đủ trơn. Có thể kể đến đóng góp của Gudi và Neilan [6], ở đó phƣơng pháp phần tử hữu hạn đã đƣợc sử dụng. Các nỗ lực giải phƣơng trình tam điều hòa tuyến tính hoặc phi tuyến với điều kiện biên bằng phƣơng pháp sai phân thuộc về Mohanty và các cộng sự [7, 8, 9]. Trong các công trình này họ đã xây dựng các lƣợc đồ sai phân với độ đúng cấp hai hoặc cấp bốn nhƣng việc giải các hệ phƣơng trình rời rạc thu đƣợc chƣa đƣợc quan tâm. Năm 2006, trong [1] khi nghiên cứu bài toán biên Neumann cho phƣơng trình kiểu song điều hòa Dang đã đề xuất phƣơng pháp đƣa bài toán biên về phƣơng trình với toán tử đối xứng, xác định dƣơng đối với một hàm trung gian trong không gian Hilbert và xây dựng phƣơng pháp lặp giải bài toán này. Sau đó, phát triển ý tƣởng đƣa các bài toán biên về phƣơng trình toán tử đối với hàm trung gian chứ không phải ẩn hàm, Dang và các cộng sự trong [2-5] đã thành công khi xét một số bài toán biên phi tuyến cho phƣơng trình vi phân đạo hàm thƣờng và đạo hàm riêng cấp bốn. Các bài toán này đƣợc đƣa về phƣơng trình toán tử đối với thành phần phi tuyến. Nhiều kết quả về tồn tại, duy nhất và tính dƣơng của nghiệm đã đƣợc thiết lập dƣới các điều kiện dễ kiểm tra. Sự hội tụ và đánh giá sai số của phƣơng pháp lặp cũng đƣợc chứng minh bằng lý thuyết và kiểm tra bằng thực nghiệm. Phƣơng pháp do nhóm nghiên cứu của Dang đề xuất đƣợc một số nhà nghiên cứu đánh giá cao và trích dẫn nhiều khi nghiên cứu về các loại bài toán biên phi tuyến. Trong bài báo này chúng tôi tiếp tục phát triển phƣơng pháp trên để nghiên cứu về định tính cũng nhƣ lời giải số cho bài toán biên tam điều hòa. Kết quả chính thu đƣợc là sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán và phƣơng pháp lặp tìm nghiệm này. Chúng tôi cũng đƣa ra một số thí dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phƣơng pháp lặp đƣợc đề xuất. II. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Xét bài toán biên tam điều hòa ( ) , (1) ...