Phương pháp nhân tử Largagce

Phương pháp nhân tử Lagrange (sẽ được học trong chương trình toán cao cấp của bậc đại học) khá hiệu quả trong những bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc ngoài ra còn có thể dùng để tìm điều kiện xảy ra dẫu bằng của bất đẳng thức.Định nghĩa:Cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) có điều kiện của hàm hai biến z=f(x:y) là cực trị của hàm này với điều kiện là các biến x, y phải thoả ràng buộc bởi phương trình (x;y)=0...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp nhân tử LargagcePHƯƠNG PHÁP NHÂN T LAGRANGE1 -METHOD OF LAGRANGE MULTIPLIERS Tr n Trung Kiên TP. H Chí Minh- Ngày 30 tháng 9 năm 2012 Phương pháp nhân t Lagrange (s đư c h c trong chương trình toán cao c p c a b c đ i h c)khá hi u qu trong nh ng bài toán c c tr có đi u ki n ràng bu c ngoài ra còn có th dùng đ tìmđi u ki n x y ra d u b ng c a b t đ ng th c. Đ nh nghĩa KC c tr (c c đ i ho c c c ti u) có đi u ki n c a hàm hai bi n z = f (x; y) là c c tr c a hàm này v iđi u ki n là các bi n x, y ph i th a ràng bu c b i phương trình ϕ(x; y) = 0.Đ tìm c c tr có đi u ki n c a hàm z = f (x; y) khi hi n h u phương trình ràng bu c ϕ(x; y) = 0,ngư i ta thi t l p m t hàm b tr là hàm Lagrange:L(x; yλ) = f (x; y)+λϕ(x; y), trong đó λ là m t nhân t h ng chưa xác đ nh, g i là nhân t Lagrange.Đi u ki n c n c a c c tr là h ba phương trình. Lx (x; y; λ) = fx (x; y) + λϕx (x; y) = 0Ly (x; y; λ) = fy (x; y) + λϕy (x; y) = 0ϕ(x; y) = 0Gi i h trên ta tìm đư c nghi m là x0 ; y0 ; λ0 . V n đ t n t i và đ c tính c a c c tr có đi u ki n đư cgi i b ng cách xét d u vi phân c p 2 c a hàm Lagrange t i đi m P0 (x0 ; y0 ) và λ0 - nghi m c a hphương trình trên. P0 (x0 ; y0 ) là đi m d ng c a hàm L. d2 L = L xx dx2 + 2L xy dxdy + L yy dy 2 TTrong đó dx; dy th a mãn ràng bu c bi u th b ng phương trình ϕx dx + ϕy dy = 0(dx2 + dy 2 = 0)C th xét hàm f (x; y) đ t c c đ i có đi u ki n n u d2 L < 0 và đ t c c ti u có đi u ki n n u d2 L > 0t i đi m d ng P0 (x0 ; y0 ) và nhân t λ0 . Các bư c cơ b n c a phương pháp nhân t Lagrange1. Phát bi u bài toán dư i d ng mô hình toán h c. C c đ i ho c c c ti u c a hàm z = f (x; y) v iđi u ki n ràng bu c ϕ(x; y) = 02. Thi t l p hàm Lagrange L(x; y; λ) = f (x; y) + λϕ(x; y)3. Tìm đi m d ng c a L, t c là gi i h phương trình   Lx (x; y; λ) = 0T  L (x; y; λ) = 0  y Lλ (x; y; λ) = 0 4. Xét d u d2 L t i đi m (x0 ; y0 ) mà (x0 ; y0 ; λ0 ) là nghi m c a h phương trình bư c 3.• N u d2 L(x0 ; y0 ; λ0 ) < 0zmax = f (x0 ; y0 )• N u d2 L(x0 ; y0 ; λ0 ) > 0zmin = f (x0 ; y0 )Đ n m v ng phương pháp trên ta quan sát bài toán đơn gi n sau: 1 Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) là nhà toán h c và thiên văn h c ngư i Pháp. 1 1 Cho hai s th c x, y th a mãn đi u ki n x + y = 10. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: f (x; y) = x2 + y 2Gi iBư c 1: Tìm c c ti u đ i v i f (x; y) = x2 + y 2 th a mãn đi u ki n ϕ(x; y) = x + y − 10 = 0Bư c 2: L(x; y; λ) = x2 + y 2 + λ(x + y − 10) ∂f −λBư c 3: = 2x + λ = 0 ⇔ x = ∂x 2∂f −λ = 2y + λ = 0 ⇔ y =∂y 2∂f −λ = x + y − 10 = 0 ⇒ .2 = 10 ⇔ λ = −10∂λ 2Đi m d ng (5; 5; −10) KBư c 4: Lxx = 2; Lyy = 2; Lxy = 0; d2 L(5; 5; −10) = 2(dx2 + dy 2 ) > 0fmin = f (5; 5) = 52 + 52 = 25Qua bài toán 1 chúng ta đã ph n nào đó n m đư c tư tư ng phương pháp này. Đ hi u sâu hơnta tìm h i qua các bài toán khó hơn sau đây. 2 N u a và b là các s th c dương th a mãn a14 + b14 = 2 . Ch ng minh r ng: 5a2 3b3 + 2 ≥8 b aGi i a2 b3Thi t l p hàm Lagrange L(a, b) = 5 + 3 2 − λ(a14 + b14 − 2). b aĐi m c c tr là nghi m c a h : 3  ∂L = 10a − 6 b − 14a13 λ = 0    ∂a  b a3 2 ∂L −5a2 b 13 T  ∂b = b2 + 9 a2 − 14b λ = 0    14 a + b14 = 2 aĐ t x = , ta quy ư c m u s b ng 0 thì t b ng 0 đ t P (x) = 5x18 − 9x14 + 10x4 − 6 = 0. bP (x) = (x2 − 1)Q(x), v i Q(x) ...