Phương pháp tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một số biểu thức cơ bản

Trong chương trình Toán học ở trường THCS hiện nay, có những bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức khi học sinh gặp phải thì rất bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình Toán THCS sách giáo khoa chưa đề cập nhiều về cách giải. Tài liệu đưa ra một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một số biểu thức cơ bản PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA MỘT SỐ BIỂU THỨC CƠ BẢN1. Đa thức dạng f(x)=ax2 + bx + c (a ≠ 0) Biến đổi f(x) = ax2 + bx + c = a.G(x)2 + d (d là hằng số) Nếu a >0 thì f(x) tồn tại GTNN là d. Dấu bằng xảy ra khi G(x)=0 Nếu a 0 thì f(x) tồn tại giá trị nhỏ nhất là: c - 4a 2 b Nếu a < 0 thì f(x) tồn tại giá trị lớn nhất là: c - 4aVí dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức sau: a) x2 + 3x + 1 b) 2x2 – 2x – 1 c) – 2x2 + 3x + 1 Giải 2 3 1 3 � 1� 3 3 + + = � + �+ x a) f(x) = x2 + 2.x. 2 4 4 � 2� 4 4 −1 Dấu “=” xảy ra khi x = 2 −1 3Vậy GTNN của biểu thức trên là khi x = 4 2 2 � 3 � 17 � �2 3 1 � �2 3 9 17 � � 2 − � −2 �x − � − � ﾖ 2x + 3x + 1 = −2 � − x − � −2 � − 2.x . + = = c) x x � � 2 2� � 4 16 16 � � 4 � 16 � � � � 2 � 3 � 17 17 Dấu “=” xảy ra khi x = 3= −2 � −�+ x 4 � 4� 8 8 17Vậy Giá trị lớn nhất là: 82. Dạng Bậc 4 a) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 12 b)(x – 1)(x + 1)(x + 6)(x + 8) + 25 c) x(x + 6)(x + 8)(x + 14) – 22 d) –x(x – 3)(x – 9)(x – 6) + 303. Đa thức dạng f(x,y) = ax + bxy + cy + dx + ey + m 2 2 (a.c >0)a) Dạng khuyết bxy: f(x,y) = ax + cy + dx + ey + m 2 2 Ví dụ1. Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của x2 + y2 – 2x + 4y + 3 Giải a) x2 + y2 – 2x + 4y + 3 = (x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) – 2 = (x – 1)2 + (y + 2)2 – 2 ≥ 2 (dấu “=” xảy ra khi x = 1; y = -2) Vậy GTNN của x + y – 2x + 4y + 3 là -2 khi x = 1; y = - 2 2 2 b) – x2 + 2x – 4y2 + 4y + 1 Ta có – x2 + 2x – 4y2 + 4y + 1 = –(x2 – 2x + 1) – (y2 – 4y + 4) + 6 = – (x – 1)2 – (y – 2)2 + 6 ≤ 6 (Dấu “ = “ xảy ra khi x = 1; y = 2) Vậy GTLN của - x + 2x – 4y + 4y + 1 là 6 khi x = 1; y = 2 2 2b. f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + m (a.c >0; 4ac > b2)Phương pháp: có thể biến đổi f(x,y) thành một trong hai dạngDạng 1. Chia thành 2 nhóm. Một nhóm gồm các hạng tử chứa biến y nhóm còn lại chỉ chứa biến xf(x,y) = ±(kx + ty + r)2 ± (hx – g)2 + pDạng 2. Chia thành 2 nhóm. Một nhóm gồm các hạng tử chứa biến x nhóm còn lại chỉ chứa biến y f(x,y) = ±(kx + ty + r)2 ± (hy – g)2 + pVí dụ 2. Tìm Giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất ) 5x2 + 4xy + y2 – 2x + 2y + 13 GiảiDạng 1: 5x + 4xy + y – 2x + 2y + 13 = [y + 4xy +2y] + 5x2 – 2x + 13 2 2 2 = [y2 + 2y(2x + 1)] + 4x2 – 6x + 1 = [y2 + 2y(2x + 1) + (2x + 1)2] + 5x2 – 2x + 13 – (2x + 1)2 = (y + 2x + 1)2 + x2 – 6x + 12 = (y + 2x + 1)2 + (x – 3)2 + 3 ≥ 3 Dấu “=” xảy ra khi x = 3; y = -7 Vậy GTNN của biểu thức trên là 3Dạng 2: 5x2 + 4xy + y2 – 2x + 2y + 13 = [5x2 + 4xy – 2x] ...