Phương pháp tọa độ giải bài toán cực trị của modul số phức

Bài viết "Phương pháp tọa độ giải bài toán cực trị của modul số phức" tập trung trình bày về phương pháp "Sử dụng kiến thức hình học tọa độ để giải bài toán tìm cực trị modul số phức" và các ví dụ, bài tập vận dụng được chọn lọc. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp tọa độ giải bài toán cực trị của modul số phức Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA MODUL SỐ PHỨC Nguyễn Thị Thu Hằng Trường THPT Lê Quý Đôn-Đống Đa, Hà Nội Tóm tắt nội dung Trong số các bài toán về số phức trong kì thi THPT Quốc gia gần đây bài toán: Tìmgiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của modul số phức là một dạng toán khó và xuất hiệnthường xuyên. Chẳng hạn, trong đề thi minh họa√năm 2018 của Bộ giáo dục Đào tạo:”Cho số phức z = a + bi thỏa mãn |z − 4 − 3i | = 5. Tính P = a + b khi |z + 1 − 3i | +|z − 1 + i | đạt giá trị lớn nhất.” đã làm học sinh và giáo viên khá đau đầu. Có rất nhiều phương pháp để giải quyết dạng bài tập này, trong số các phương phápấy, phương pháp Sử dụng kiến thức hình học tọa độ để giải bài toán tìm cực trị modulsố phức được tôi lựa chọn để trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm của mình.1 Biểu diễn hình học của số phức Mỗi số phức z = x + iy( x, y ∈ R) được biểu diễn trong mặt phẳng Oxy là một điểmM ( x; y). Khi đó −−→ a) modul của số phức z bằng |OM| b) Hai điểm biểu diễn số phức z và số phức liên hợp z của số phức z đối xứng nhauqua trục thực. c) Hai điểm biểu diễn số phức z và số phức đối −z của số phức z đối xứng nhau quagốc O. 65 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018Nhận xét 1 (Ý nghĩa hình học của phép cộng, phép trừ hai số phức). q Cho z1 = x1 + y1 i −−→là số phức có điểm biểu diễn hình học là M1 ( x1 ; y1 ) với |OM1 | = x12 + y21 . −−→q Cho z2 = x2 + y2 i là số phức có điểm biểu diễn hình học là M2 ( x2 ; y2 ) với |OM2 | = x22 + y22 . Khi đó −−→ −−→ −→ Tổng hai số phức z1 + z2 =OM1 + OM2 = OQ thì điểm Q là điểm biểu diễn số phứcz1 + z2 và |z1 + z2 | = |OQ|. −−→ −−→ −−−→ −−−→ Hiệu hai số phức z1 + z2 =OM1 − OM2 = M2 M1 thì M2 M1 biểu diễn số phức z1 − z2và |z1 − z2 | = | M1 M2 |. −−→ −−→ Nếu hai vecto OM1 và OM2 không cùng phương thì đỉnh Q là đỉnh của hình bìnhhành OM1 QM2 và |z1 − z2 | và |z1 + z2 | lần lượt là độ dài hai đường chéo M1 M2 và OQcủa hình bình hành đó.Nhận xét 2 (Một số kiến thức bổ sung). a. Phương trình đường thẳng ax + by + c = 0. b.Phương trình đường tròn ( x − a)2 + (y − b)2 = R2 . x2 y2 c.Phương trình Elip 2 + 2 = 1. a b d. Phương trình Parabol y = ax2 .2 Một số áp dụng Để giải quyết các bài tập về tìm cực trị của modul số phức, cần thành thục kỹ năngvề tìm tập hơp các điểm biểu diễn số phức cho trước.2.1 Tìm tập hơp các điểm biểu diễn số phức z Giả sử M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, a, b. 1) |z − a| = |z − b| ⇔ MA = MB. Khi đó tập hợp M là đường thẳng trung trực củađoạn AB. 2) |z − a| = R ⇔ | MA| = R. Khi đó tập hợp M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R. 3) |z − a| + |z − b| = k ⇔ MA + MB = k (k > 0, k ∈ R, | a − b| < k). Khi đó tập hợpM là đường Elip nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k. 66 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018Bài toán 1 (Đề thi minh họa THPT Quốc gia 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z| = 4. Biếttập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z = (3 + 4i )z + i là đường tròn tâm I bán kínhR. Khi đó √ A. I (0; 1); R = 2 5 B. I (1; 0); R = 10 C. I (0; 1); R = 20 D. I (1; −2); R = 22Lời giải. √ Từ giả thiết z = (3 + 4i )z + i ⇔ |z − i | = |(3 + 4i )z| ⇔ |z − i | = 32 + 42 |z| ⇔ |z − i | = 5 × 4 ⇔ |z − i | = 20. Giả sử z = x + yi thì ta có x2 + (y − 1)2 = 20. √ Tập hợp điểm M trong mặt phẳng là đường tròn tâm I (0; 1) bán kính R = 20. Đápán đúng là (A)Bài toán 2 (Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 490 (năm 2018)). Cho số phức z thỏa mãn |z| = 2.Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 − i )z + 2i là A. Một Parabol B. Một đường tròn C.Một Elip D. Một đường thẳng.Lời giải. w − 2i |w − 2i | Từ giả thiết ta có z = ⇔ |z| = 1−i |1 − i | |w − 2i | √ ⇔ |z| = √ ⇔ |w − 2i | = 2 2. 2 √ biểu diễn số phức w trong mặt phẳng phức là đường tròn tâm I (0; −2) Tập hợp ...