Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng PhÇn I Ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Bµi 1 VÐct¬ vµ täa ®é trong mÆt ph¼ng I − Nh¾c l¹i lý thuyÕt (nh÷ng ®iÒu c¬ b¶n cÇn n¾m) 1. HÖ trôc täa ®é §Òc¸c vu«ng gãc HÖ thèng hai trôc täa ®é Ox, Oy chung gèc O, vu«ng gãc víi nhau®−îc gäi lµ mét hÖ trôc täa ®é §Òc¸c vu«ng gãc trong mÆt ph¼ng. Tath−êng kÝ hiÖu lµ Oxy hay {O, e1, e2} , ë ®ã e1, e2 lµ c¸c vÐct¬ ®¬n vÞ®Þnh h−íng c¸c trôc Ox, Oy t−¬ng øng. Trôc Ox ®−îc gäi lµ trôc hoµnh.Trôc Oy ®−îc gäi lµ trôc tung (xem h×nh vÏ). 2. Täa ®é cña vÐct¬ vµ cña ®iÓm. Cho hÖ trôc täa ®é Oxy, a lµ métvect¬ trong mÆt ph¼ng, khi ®ã cã duy nhÊt ®iÓm M sao cho OM = a.Ph©n tÝch vÐct¬ OM theo hai vÐct¬ e1, e2 ta cã : OM = OM1 + OM 2 = a1 e1 + a 2 e2 . Ta gäi cÆp sè cã thø tù (a1, a2) lµ täa ®é cña vÐct¬ a trong hÖ trôc täa®é Oxy, vµ viÕt a(a1, a 2 ) hay a = {a1, a 2} . Víi ®iÓm N thuéc mÆt ph¼ng, täa ®é cña vÐct¬ ON ®−îc gäi lµ täa ®écña ®iÓm N. Nh− vËy N(x, y) nÕu vµ chØ nÕu ON = xe1 + ye2 . 3. BiÓu thøc täa ®é cña c¸c phÐp to¸n trªn vÐct¬. a) NÕu M(x1, y1), N(x2, y2) th× MN(x2 − x1, y2 − y1 ). b) a (a1, a 2 ), b(b1, b2 ) , k lµ sè thùc th× : 1 a ± b(a1 ± b1, a 2 ± b2 ) k.a(ka1, ka 2 ). c) Ta gäi tÝch v« h−íng cña hai vÐc t¬ a, b lµ mét sè thùc, kÝ hiÖua . b , ®−îc x¸c ®Þnh bëi a . b = a . b . cos(a, b) , ë ®ã (a, b) lµ gãc t¹o bëihai vÐc t¬ a vµ b. NÕu a(a1, a 2 ), b(b1, b2 ) th× a . b = a1b1 + a 2 b2 . Khi b = a , ta cã 2 2a.a = a = a 2 2 = a1 + a 2 . Tõ ®ã a = a1 + a 2 2 2 ; t−¬ng tùb = b1 + b2 . Nh− vËy, khi a ≠ 0, b ≠ 0 : 2 2 a.b a1b1 + a 2 b2 cos(a, b) = = . 2 a b a1 + a2 2 2 b1 + 2 b2 4. Chia ®o¹n th¼ng theo tû sè cho tr−íc Cho hai ®iÓm A, B vµ mét sè k ≠ 1. §iÓm M ®−îc gäi lµ chia ®o¹n ABtheo tû sè k nÕu MA = kMB . Gi¶ sö A(x1, y1), B(x2, y2) vµ M(x, y) th×dÔ dµng tÝnh ®−îc : x1 − kx 2 y − ky2 x= ,y= 1 . 1− k 1− k NhËn xÐt : a) Khi k = −1, ta cã MA = −MB , nghÜa lµ M lµ trung ®iÓm cña AB. x + x2 y + y2Khi ®ã x = 1 ,y= 1 . Nh− vËy, täa ®é trung ®iÓm cña mét 2 2®o¹n th¼ng b»ng trung b×nh céng c¸c täa ®é t−¬ng øng cña hai ®Çu mótcña ®o¹n th¼ng ®ã. b) NÕu a = k.b mµ b ≠ 0 , th× a a cïng h−íng víi b khi vµ chØ khi k ≥ 0, khi ®ã k = . b a NÕu a, b ng−îc h−íng th× k < 0, khi ®ã k = − . b 2 c) Bèn ®iÓm A, B, M, N ®−îc gäi lµ mét hµng ®iÓm ®iÒu hßa nÕu Mvµ N chia ®o¹n AB theo hai tû sè ®èi nhau. NghÜa lµ nÕu MA = kMB th×NA = − kNB . II − LuyÖn tËp 1. §Ò thi §¹i häc LuËt Hµ Néi (1998) Cho h×nh thang c©n ABCD, ®¸y AD vµ BC, gãc BAD = 30o . §ÆtAB = a, AD = b. H·y biÓu diÔn vÐc t¬ BC, CD, AC, BD theo a, b. Lêi gi¶i : KÎ BD1 // CD, D1 ∈ AD. Ta cã : CD = BD1 = AD1 − AB = AD1 − a = k.b − a, k = o AD1 2AH 2. AB . cos 30 a. 3 = = = . AD b b b 3 a Nh− vËy CD = .b − a. b DÔ thÊy BD = AD − AB = b − a.  b − 3 a  AC = AD + DC = a +   b   b  b − 3 a BC = .b ; b 2. §Ò thi häc viÖn kü thuËt mËt m· (n¨m 1999) Gäi AD lµ ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A cña tam gi¸c ABC. H·ybiÓu diÔn AD theo AB vµ AC . Lêi gi¶i. §Æt AB = a, AC = b. Theo tÝnh chÊt cña ®−êng ph©n gi¸c, ta cã : 3 DB AB = . Nh−ng AD lµ ®−êng ph©n gi¸c trong, nªn DB vµ DC DC ACng−îc h−íng. V× vËy : AB a D ...