Phương pháp toán tử cho mô-men góc và cho dao động điều hòa

Phương pháp toán tử cho mô-men góc và cho dao động điều hòaLý lê Ngày 9 tháng 9 năm 2009Tóm tắt nội dung Các đặc trị của những toán tử năng lượng cho dao động điều hòa và toán tử mô-men góc của hạt chuyển động trên một mặt cầu đã được xác định bằng cách giải phương trình vi phân. Sau đây, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp khác để tìm các đặc trị này, được gọi là phương pháp toán tử bậc thang. Theo đó, các đặc trị được xác định chỉ cần dựa vào các...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp toán tử cho mô-men góc và cho dao động điều hòa Phương pháp toán tử cho mô-men góc và cho dao động điều hòa Lý lê Ngày 9 tháng 9 năm 2009 Tóm tắt nội dung Các đặc trị của những toán tử năng lượng cho dao động điều hòa và toán tử mô-men góc của hạt chuyển động trên một mặt cầu đã được xác định bằng cách giải phương trình vi phân. Sau đây, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp khác để tìm các đặc trị này, được gọi là phương pháp toán tử bậc thang. Theo đó, các đặc trị được xác định chỉ cần dựa vào các mối liên hệ giao hoán của các toán tử.1 Phương pháp toán tử bậc thang cho mô-men gócChúng ta đã dùng chữ cái L để chỉ mô-men góc orbital. Sau đây, chúng tasẽ dùng chữ cái M để chỉ mô-men góc nói chung. Có ba toán tử mô-men góclà Mx , My , Mz . Tính tất của chúng cũng giống như Lx , Ly , Lz mà chúng tađã biết. Các mối liên hệ giao hoán của chúng như sau [Mx , My ] = i Mz ; [My , Mz ] = i Mx ; [Mz , Mx ] = i My (1)Toán tử M 2 được xác định bởi M 2 = Mx + My + Mz 2 2 2 (2)Chúng ta có [M 2 , Mx ] = [M 2 , My ] = [M 2 , Mz ] = 0 (3)Nhiệm vụ của chúng ta là sẽ xác định các đặc trị của M 2 và Mz dựa vàonhững mối liên hệ trên. Trước hết, chúng ta định nghĩa hai toán tử mới làtoán tử tăng M+ và toán tử giảm M− như sau M+ = Mx + iMy (4) M− = Mx − iMy (5)M+ và M− là những ví dụ về toán tử bậc thang (ladder operators). Sauđây, chúng ta khảo sát tính giao hoán của chúng với toán tử Mz . 1 Ta có M+ M− = (Mx + iMy )(Mx − iMy ) 2 2 = Mx + iMy Mx − iMx My + My = M 2 − Mz + i[My , Mx ] 2Vì [My , Mx ] = −[Mx , My ] = −i Mznên M+ M− = M 2 − Mz + i[My , Mx ] = M 2 − Mz + Mz 2 2 (6)Tương tự, ta tìm được M− M+ = M 2 − Mz − Mz 2 (7) Ta có [M+ , Mz ] = [Mx + iMy , Mz ] = [Mx , Mz ] + i[My , Mz ]với [Mx , Mz ] = −[Mz , Mx ] = −i Myvà [My , Mz ] = i MxSuy ra [M+ , Mz ] = −i My − Mx = − (Mx + iMy ) = − M+ (8)Như vậy, chúng ta thấy [M+ , Mz ] = M+ Mz − Mz M+ = − M+ (9)Do đó M+ Mz = Mz M+ − M+ (10)Tương tự, ta tìm được M− Mz = Mz M− + M− (11) Gọi Y là những đặc hàm chung của M 2 và Mz , ta có Mz Y = bY (12) M 2 Y = cY (13)với b và c là những đặc trị cần xác định. Áp dụng toán tử M+ lên (12), tanhận được M+ Mz Y = bM+ Y (14) 2với M+ Mz = Mz M+ − M+ , (14) trở thành (Mz M+ − M+ )Y = bM+ Yhay Mz (M+ Y ) = (b + )(M+ Y ) (15)Phương trình trên có nghĩa là hàm (M+ Y ) là một đặc hàm của toán tử Mzvới đặc trị là (b + ). Tiếp tục, áp dụng toán tử M+ lên (15) và sử dụngphương trình M+ Mz = Mz M+ − M+ , ta sẽ thu được 2 2 Mz (M+ Y ) = (b + 2 )(M+ Y ) (16)Cứ tiếp tục như trên nhiều lần với toán tử tăng M+ ta sẽ thu được k k Mz (M+ Y ) = (b + k )(M+ Y ) (k = 0, 1, 2, 3 . . .) (17) Tương tự, nếu ta áp dụng toán tử giảm M− lên (12) và lưu ý M− Mz = Mz M− + M−ta sẽ thu được Mz (M− Y ) = (b − )(M− Y ) (18) k k Mz (M− Y ) = (b − k )(M− Y ) (19) Tóm lại, bằng cách sử dụng các toán tử tăng và toán tử giảm lên đặchàm với đặc trị b, chúng ta tạo ra từng nấc các giá trị đặc trị khác nhau làb±k . b+2 b+ b b− b−2 Như vậ ...