Phương pháp toán tử Fourier tính quá trình quá độ

Phép biến đổi fourier là trường hợp đặc biệt củ phép biến đổi Laplace ( ta đã nói đến cách phân tích hàm chu kỳ ra chuỗi Fourier, tức là xác định các thành phần phổ của hàm gốc các biên độ, các pha các thành phần điều hòa.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp toán tử Fourier tính quá trình quá độGiaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 99 CHÆÅNG 17 PHÆÅNG PHAÏP TOAÏN TÆÍ FOURIER TÊNH QUAÏ TRÇNH QUAÏ ÂÄܧ1. Pheïp biãún âäøi Fourier vaì caïc âàûc tênh phäø I. Pheïp biãún âäøi Fourier Våïi haìm f(t) tuyãût âäúi khaí têch, âàûc biãût laì haìm giaíi têch cuía biãún p trãn truûc aío.Luïc âoï coï thãø thay p = jω ta coï : ∞ ∫ f ( t )e dt = F( jω) laì pheïp biãún âäøi Fourier thuáûn − j ωt (17-1) 0 1 ∞ ∫∞F( jω)e dω = f ( t ) laì pheïp biãún âäøi Fourier ngæåüc − jωt vaì (17-2) 2π − Pheïp biãún âäøi Fourier laì træåìng håüp âàûc biãût cuía pheïp biãún âäøi Laplace (ta âaînoïi âãún caïch phán têch haìm chu kyì ra chuäùi Fourier, tæïc laì xaïc âënh caïc thaình pháönphäø cuía haìm gäúc caïc biãn âäü, caïc pha caïc thaình pháön âiãöu hoìa. Têch phán Fourierchênh laì træåìng håüp giåïi haûn cuía chuäùi Fourier âäúi våïi caïc haìm khäng chu kyì). II. Phäø táön - máût âäü phäø cuía haìm f(t) 1 ∞ ∫∞F( jω)e dω = f ( t ) ta tháúy f(t) laì täøng vä haûn nhæîng haìm âiãöu hoìa coï − jωt Tæì 2π −táön säú liãûn tuûc - ∞ ≤ ω ≤ ∞ (táön säú phuí kên caí daíi táön säú trãn) 1 F( jω)dω = dF( jω) laì biãn âäü (17-3) 2π dF(jω) laì phäø cuía haìm f(t) noï laì phäø liãn tuûc, phán bäú daìy âàûc trãn truûc ω, goüi laìphäø âàûc nãúu f(t) khäng chu kyì, khaïc våïi phäø cuía haìm chu kyì laì phäø vaûch, råìi raûc. Âãø tiãûn tênh toaïn, biãøu diãùn ta âàûc træng phäø âoï bàòng haìm aính Fourier F(jω) cuíagäúc f(t). d F( jω) = 2π F( jω) goüi laì máût âäü phäø cuía gäúc f(t) (17-4) dω Haìm F(jω) laì haìm phæïc, biãún thæûc ω, thæåìng hæîu haûn vaì phán bäú liãn tuûc daìyâàûc trãn truûc säú -∞ ≤ ω ≤ ∞ . Váûy aính Fourier cuía mäüt haìm f(t) - laì máût âäü phäø cuía haìm gäúc âoï. Máût âäü phäøF(jω) coï thãø biãøu diãùn dæåïi caïc daûng sau âáy : 1. Phäø táön biãn pha : âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng F( jω) = F(ω)e jψ ( ω ) = F(ω)〈ψ(ω) (17-5) Trong âoï : F(ω) laì phäø biãn âäü, våïi f(t) laì haìm thæûc thç F(ω) laì haìm chàôn : F(-ω) = F(ω). ψ(ω) = argF(jω) laì phäø pha, noï laì haìm leí : ψ(-ω) = -ψ(ω). 2. Phäø táön thæûc - aío : âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng F(jω) = F1(ω) + j F2(ω) (17-6) F1(ω) phäø thæûc, haìm chàôn.Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûnGiaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 100 F2(ω) phäø aío, haìm leí.Vê duû : Cho haìm f ( t ) = e − at , haîy tçm aính Fourier vaì biãøu diãùn dæåïi daûng thæûc, aío, biãn,pha. 1 a ω 1 −ωf ( t ) = e −at ↔ = 2 −j 2 = 〈 arctg biãøu diãùn aính jω + a ω + a 2 ω + a2 ω +a 2 2 aFourier dæåïi daûng thæûc, aío nhæ hçnh (h.17-1a,b), dæåïi daûng biãn, pha nhæ hçnh (h.17-1c, d). F1 F2 F ψ 0 ω 0 ω 0 ω 0 ω h.(17-1a) h.(17-1b) h.(17-1c) h.(17-1d) 3. Biãøu thæïc quan hãû giæîa gäúc thåìi gian vaì phäø táön. Tæì F(jω) = F1(jω) + j F2(jω) 1 ∞ ∞ 2π −∫theo (17-2) coï : f ( t ) = F( jω)e − jωt dω , theo (17-1) coï : F( jω) = ∫ f ( t )e − jωt dt ∞ 0 ∞ ∞ruït ra : F1 (ω) = ∫ f ( t ) cos ωtdt , F2 (ω) = − ∫ f ( t ) sin ωtdt 0 0 ∞ 1 [F1 (ω) + jF2 (ω)](cos ωt + j sin ωt )dω 2π −∫f (t ) = ∞ 1 ∞ ...