Phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên giải một loại bài toán điều khiển chứa tích phân bội và ứng dụng

Bài toán điều khiển đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm giải quyết bằng nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó có những bài toán điều khiển chứa các tích phân bội. Việc giải một bài toán chứa tích phân bội luôn có độ phức tạp tính toán cao khi giải bằng các thuật giải thông thường (sử dụng các công cụ giải tích). Với việc áp dụng phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên, các tích phân bội được giải với độ phức tạp nhỏ hơn nhiều.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên giải một loại bài toán điều khiển chứa tích phân bội và ứng dụng Trần Thị Ngân và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 90(02): 93 - 99 PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGẪU NHIÊN GIẢI MỘT LOẠI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHỨA TÍCH PHÂN BỘI VÀ ỨNG DỤNG Trần Thị Ngân*, Trần Mạnh Tuấn Đại học CNTT & TT – ĐHTN TÓM TẮT Bài toán điều khiển đã đƣợc nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm giải quyết bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau. Trong đó có những bài toán điều khiển chứa các tích phân bội. Việc giải một bài toán chứa tích phân bội luôn có độ phức tạp tính toán cao khi giải bằng các thuật giải thông thƣờng (sử dụng các công cụ giải tích). Với việc áp dụng phƣơng pháp xấp xỉ ngẫu nhiên, các tích phân bội đƣợc giải với độ phức tạp nhỏ hơn nhiều. Từ khóa: Bài toán điều khiển, tích phân bội, độ phức tạp tính toán, giải tích toán học, lý thuyết độ tin cậy. MỞ ĐẦU* Cho vecto a  ( a1 ,..., a n )  R n có các thành J L (u ) :   i  zi  zi (T )  phần hữu hạn và vecto b  (b1 ,..., bn )  R n với các thành phần nhận các giá trị có thể là vô hạn. Liên quan tới chúng là hình hộp mở [a,b), các thời điểm t 0 , T  R 1 và lớp U các  z (T )  zn   1   n  n   inf, u   Q1 (u1 ,..., un 1 )   hàm hằng từng khúc trên [t 0 , T ] , xác định lần lƣợt dƣới dạng:  x :  x1 ,..., xn   R n :   ai  [a, b) :  ,  xi  bi  , i  1  n  t0 : min ai , T : max bi , 1Y ( y ) 1i  n 1  0 2 2 (1.2) zi (t )  pi (t ).ui (t ), t0  t  T ; zi (t0 )  z i đã cho i  1  n  1 zn (t )  Q(u1 ,..., un1; t ).un (t ), t0  t  T ; zn (t0 )  z n 1i  n khi y  Y khi y  Y n ;  :  i , i 1 ui (.)  ui (., i ) : 1 a ,  (.) :[t0 , T ] i i  i :  ,  {0,1}| ai  i  bi  i  1  n. (1.1) Xét bài toán điều khiển tất định Lagrange với hàm điều khiển u  (u 1 ,..., u n )  U đƣợc tham số hóa theo các tham số   ( 0 ,  n )  (a, b) ,  0  (1 ,...,  n 1 )  i 1 (ai , bi ) và với thời n 1 gian điều khiển (t 0 , T ) có thể là vô hạn sau: (1.3) đã cho. (1.3*) Trong đó: v1 vn a1 an pi ( xi ) :  ...  p ( x1 ,..., xi ,..., xn ) dx j , j i xi  [t0 , T ], 1  i  n; T T n 1 t0 t0 j 1 Q(u1 ,..., un 1 ; xn ) :  ... p ( x) u j ( x j ; j )dx j 1  n1 n 1 a1 an1 j 1   ...  p ( x) dx j : q ( 0 ; xn ) bn Q1 (u1 ,..., un 1 ) :  Q(u1 ,..., un 1 ; xn )dxn an 1  n1 bn a1 an1 an   ...   bn p ( x)dxn ...dxn   q ( 0 ; xn )dxn : q1 ( 0 ) an (1.4) * Tel: 0989.040.454; Email: ttngan@ictu.edu.vn Với các giả thiết sau đƣợc thỏa mãn: 93 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trần Thị Ngân và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ (A)- Hàm đã cho p : R  R là dƣơng, liên tục và khả tích (theo nghĩa Lebesgue) trên [a,b): n 1 p ( x)  0, x  (a, b); p  C  a, b  ;  p ( x )dx  p L ( a ,b )   ( a ,b ) (1.5) (B)- Các tham số  : ( 1 ,...,  n ) thỏa mãn: 0  i  p : p L ( a ,b ) , i  1  n  1, 0   n  1 (1.6) Khi dùng phƣơng pháp trực tiếp để giải bài toán điều khiển (1.2) – (1.4), ta có thể chuyển nó về bài toán quy hoạch: J ( ) :   f i ( )   i   inf, n 2   (a, b); f i ( )  f i (i ), 1  i  n (1.7) f i (i ) : bi 1 i bi 1 bn  ...    ...  a1 ai 1 ai ai 1 p ( x)dx, (1.8) f n ( ) :   0 ; xn )dxn q1 ( 0 )  (2.1) Cho bởi nghiệm duy nhất:  i   *  (ai , bi ), i  1,..., n của n phương f i ( i )   i , i  1  n  1, f n ( )   n bn  q (  (a, b);0* : (1* ,...,  n*1 ) trình phi tuyến: an i  (ai , bi ), 1  i  n n nghĩa đó, phƣơng pháp Monte Carlo, tạo ƣớc lƣợng không chệch của các tích phân bội sẽ đƣợc sử dụng (trong mục II.2) để thiết lập các phƣơng trình hồi quy tƣơng ứng với bài toán quy hoạch (1.7)-(1.9). Trên cơ sở này, phƣơng pháp Robins Monro (Robins Monro’s Procedure - RMP) đƣợc xây dựng để giải số bài toán ban đầu. Những ứng dụng vào lý thuyết độ tin cậy sẽ đƣợc trình bày trong mục II.3. II.2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH XẤP XỈ NGẪU NHIÊN Nhằm chuyển bài toán điều khiển (1.2)-( 1.4) về bài toán quy hoạch (1.7)-(1.9), ta xét kết quả sau: Bổ đề 2.1: Nếu các điều kiện (A), (B) được thỏa mãn thì: 1-Bài toán quy hoạch (1.7) có lời giải duy nhất:    * : (1* ,..., n* )  ( 0* , n* ) i 1 b1 90(02): 93 - 99 b n 1 n 1 1 ... p ( x) dx,   ( a, b) q1 ( 0 ) a1 an1 n (1.9) Việc giải số bài toán quy hoạch (1.7) theo các phƣơng pháp tất định gặp khó khăn ở chỗ cần phải tính (n -1) tích phân bội f i ( i ) trong (1.8) và các tích phân bội trong (1.9), q1 ( 0 ) trong (1.4) thì mới xác định đƣợc một giá trị cho hàm mục tiêu J ( ) . Mở rộng các kết quả đã có và sử dụng kết quả của công trình [7], bài toán điều khiển (1.2)(1.4) đƣợc giải trong dạng tổng quát. Với ý (2.2) 2- Hệ động lực (1.3)-( 1.3*) là điều khiển được bởi lớp hàm U và lớp hàm này cũng là tập hợp các điều khiển chấp nhận được của bài toán điều khiển (1.2)-( 1.3*). ...