Phương trình đại số

Phương pháp lượng liên hợpPhương pháp này đã được đề cập đến khá kĩ ở phần phương trình vô tỉ. Ở đây tôi chỉ ra mộtứng dụng khác của phương pháp lượng liên hợp đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình đại số PHÖÔNG TRÌNHA. CAÙC PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛNPhaàn naøy ñeà caäp ñeán caùc phöông phaùp giaûi caùc phöông trình coù baäc nhoû hôn 5I. Phöông trình baäc nhaátDaïng toång quaùt : ax + b = cBieän luaän : b a ≠ 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát x = − • a a = 0 : phöông trình coù daïng 0 x = −b • b ≠ 0 : phöông trình voâ nghieäm b = 0 : phöông trình coù voâ soá nghieämII. Phöông trình baäc hai ( a ≠ 0 ) (1)Daïng toång quaùt : ax 2 + bx + c = 0Bieän luaän : Ta xeùt ∆ = b 2 − 4ac • ∆ < 0 : phöông trình voâ nghieäm. b ∆ = 0 : phöông trình coù nghieäm keùp : x1 = x2 = − • 2a −b + ∆ −b − ∆ ∆ > 0 : phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät : x1 = , x2 = • 2a 2aVí dụ. Chứng minh rằng phöông trình x + ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = 0 voâ nghieäm vôùi 2a, b, c laø 3 caïnh cuûa moät tam giaùc .Giaûi.Ta coù ∆ = ( a + b + c ) − 4 ( ab + bc + ca ) = a 2 + b 2 + c 2 − 2 ( ab + bc + ca ) 2Maø ∆ < 0 do a, b, c laø ba caïnh tam giaùc ( xem phaàn baát ñaúng thöùc hình hoïc)Ñònh lyù Viet vaø moät soá öùng duïngGiaû söû ∆ ≥ 0 . Goïi x1 , x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình (1) thì : −b   S = x1 + x 2 =  a  c  P = x1.x 2 =   aBaèng ñònh lyù Viet chuùng ta coù theå xeùt daáu cuûa caùc nghieäm nhö sau - Phöông trình coù hai nghieäm döông ⇔ ∆ ≥ 0 vaø P > 0 vaø S > 0 - Phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu ⇔ ∆ ≥ 0 vaø P < 0 - Phöông trình coù hai nghieäm aâm ⇔ ∆ ≥ 0 vaø P > 0 vaø S < 0Thí duï . Tìm m sao cho phöông trình x 2 − 2 ( m + 2 ) x + 6m + 1 = 0 (*) coù hai nghieäm khoângnhoû hôn 2GiaûiÑaët t = x − 2 thì phöông trình ñaõ cho trôû thaønh t 2 − 2mt + 2m − 3 = 0 (**)Phöông trình (*) coù hai nghieäm lôùn hôn hoaëc baèng 2 ⇔ phöông trình (**) coù hai nghieämkhoâng aâm  ∆≥ 0  m 2 − 2m + 3 ≥ 0   3 ⇔  S ≥ 0 ⇔  2m ≥ 0 ⇔m≥ 2 P ≥ 0  2m − 3 ≥ 0   3Vaäy m ≥ thì phöông trình (*) coù hai nghieäm lôùn hôn hoaëc baèng 2 2III. Phöông trình baäc ba ( a ≠ 0)Daïng toåûng quaùt : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0Ta ñöa veà daïng : x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (2) aÑaët x = y − thì phöông trình (2) ñöôïc vieát laïi döôùi daïng y 3 − py − q = 0 (2’) trong ñoù 3 −2a ab 2 3 ap = − b vaø q = − c . Coâng thöùc nghieäm cuûa phöông trình (2’) laø : + 3 27 3 2 3 2 3 q p3q q q p ñöôïc goïi laø coâng thöùc Cardano , laáy teân cuûa nhaø y= − + + +−− + 3 2 4 27 2 4 27toaùn hoïc Italia. Cardan theo học trưòng đai học Pavie, rồi đại học Padoue và nhận bằng tốtnghiệp Y khoa năm 1526Cardan viết khá nhiều về Toán, cũng như một số ngành khác. Ông đặt vấn đề giải phương trìnhbậc ba cụ thể là x 3 + 6 x = 20 . Bây giờ ta nói tổng quát là x 3 + px = q . Phương pháp của 1Cardan như sau: thay x = u − v vaø đặt u, v như thế nào đó để tích uv = ( hệ số của x trong 3phương trình bậc ba đang khảo sát ). Nghĩa là 2 = uv . Từ phương trình x 3 + 6 x = 20 ta có(u − v)3 + 3uv ( u − v ) = u 3 − v 3 = 20 . Khử v từ 2 = uv và từ u 3 − v3 = 20 ta cóu 6 = 20u 3 + 8 ⇒ u 3 = 108 + 10 . Từ x = u − v và u 3 − v 3 = 20 , ta cóx = 3 108 + 10 − 3 108 − 10 .Cardan cho một công thức tương đương đối với phương trình x 3 + px = q là: 2 3 2 3 q q q p q px = −3 − + + +3− − + 2 4 27 2 4 27 Caùc daïng phöông trình baäc ba thöôøng gaëp v ...