Phương trình đạo hàm riêng trên miền thay đổi theo thời gian

Bài viết Phương trình đạo hàm riêng trên miền thay đổi theo thời gian trình bày các lý thuyết cơ bản của miền thay đổi theo thời gian. Chúng tôi giới thiệu các định nghĩa về miền thay đổi theo thời gian, phương trình cân bằng, các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của phương trình cân bằng, một số phương trình cân bằng không khuếch tán và khuếch tán, phương trình parabolic trên miền thay đổi theo thời gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình đạo hàm riêng trên miền thay đổi theo thời gianTuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRÊN MIỀN THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN Đỗ Lân1 , Lê Thị Thúy 2 1 Bộ môn Toán học - Khoa CNTT, Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn 2 Bộ môn Toán - Khoa KHTN, Trường Đại học Điện lực, email:thuylt@epu.edu.vn1. GIỚI THIỆU CHUNG 2.2. Phương trình cân bằng Trong bài báo này, chúng tôi trình bày các lý Định nghĩa 1. Nếu với mỗi T  0 , f làthuyết cơ bản của miền thay đổi theo thời gian. hàm được định nghĩa bởi:Chúng tôi giới thiệu các định nghĩa về miền f : U   t   t  ¡ ,  y, t   f  y, t thay đổi theo thời gian, phương trình cân bằng, t T, T các điều kiện biên, điều kiện ban đầu củaphương trình cân bằng, một số phương trình cân và định nghĩa hàm trên 0 bởi: f bằng không khuếch tán và khuếch tán, phương f :0    T,T   ¡ , f  x,t   f    t  x, t trình parabolic trên miền thay đổi theo thời gian. Ta có W  t    t  W0    t  , là một miền2. NỘI DUNG CHÍNH con trơn với biên W  t  . Khi đó đạo hàm 2.1. Miền phụ thuộc thời gian theo thời gian của hàm T trên W(t) kí hiệu là d Giả sử x là một điểm trên miền cố định  T  y, t  dy được tính như sau: dtcho trước 0  ¡ n (là một tập mở trơn) tại W tthời điểm t  0 , xê dịch theo đường cong Bổ đề 1. Với các ký hiệu như trên, d t a Y(t; x) trên ¡ n . Chúng ta giả sử đường T  y, t  dy được viết dưới dạng hai dt W t cong này là nghiệm của hệ phương trình viphân cổ điển ôtônôm: biểu thức sau:  u.r T uuuuur  Y  t; x   V  Y  t; x   (1)  t W t   y, t  dy   y W t  div T   y, t .V   y  dy (2)   Y  0;x   x hoặc:  ur r Tvới hàm vectơ vận tốc trơn cho trước ur  t  y, t  dy   T  y, t  V  y  ds . (3) V : ¡ n  ¡ n . Với mỗi t  ¡ , ánh xạ: W t  W t   t  : ¡ n  ¡ n ,  t  z  Y  t; z  Giả sử phương trình cân bằng của T  y, t  :là một vi đồng phôi thỏa mãn: d r r T  y, t  dy  f  y, t  dy   Jds i)  0   I ; dt W t   W t  W  t  ii)  t  s     t  o   s ,  t, s  ¡ . trong đó f  y, t  chỉ tỷ lệ sản sinh hay số Ta có  t  là nghịch đảo của  t  . lượng của T trên mỗi đơn vị thể tích trong r Khi đó miền 0 cố định ban đầu xê dịch W  t  và J là trường vectơ chỉ sự chảy haythành các miền   t    t   0 , t  ¡ , và các sự lưu thông của T trên biên của W  t  . Khibiên   t     t  0 . Các miền con W0 của đó ta có: 0 xê dịch thành W  t    t  W0 , t  ¡ , và d r T  y,t  dy  f  y, t  dy   y Jdy (4) divcác biên của nó là W  t    t   W0 . dt Wt   W t  W t  178 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 Từ (4) và Bổ đề 1, ta có mệnh đề sau: Chúng ta sẽ dùng (8) để định nghĩa Mệnh đề 1. Hàm T thỏa mãn phương trình nghiệm của (7), nghĩa là T  y, t  thỏa mãn (7)cân bằng trên miền thay đổi theo thời gian khi khi và chỉ khi T  x,t  thỏa mãn (8).và chỉ khi các đẳng thức sau được thỏa mãn:T ur 2.4. Một số phương trình cân bằng t   y, t  divy T  y, t  V  y  (5) khuếch tán và không khuếch tán r Phương trình không dòng và không   ...