Phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian

Bài viết Phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của lớp phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian với các điều kiện trong L1 .
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gianTuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN MIỀN THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN Đỗ Lân1, Nguyễn Ngọc Huy1 Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn1. GIỚI THIỆU CHUNG QT = ∪ Ωt × {t} = ∪ ζ t ( Ω0 ) × {t} , t∈( 0,T ) t∈( 0,T ) Các bài toán trên miền thay đổi hình dạng ∂Ωt × {t} = ζ t ( ∂Ω0 ) × {t} .theo thời gian xuất hiện trong các lĩnh vực ΣT = ∪ t∈( 0,T ) ∪ t∈( 0,T )vật lý, sinh học, hóa học hay các lĩnh vực Trong bài báo này, chúng tôi sẽ nghiênkhác thu hút sự quan tâm chú ý của các nhà cứu tính giải được của bài toán sau:toán học trong thời gian gần đây. Những kết ⎧∂ t u − ∇ ⋅ a ( x, t , ∇u ) + ∇ ⋅ ( uν ) + g ( x, t , u , ∇u )quả ban đầu về các phương trình đạo hàm ⎪riêng trong miền thay đổi theo thời gian có ⎪= f , ( x, t ) ∈ QT , ⎨ (1) ⎪a ( x, t , ∇u ) ⋅υ = 0, ( x, t ) ∈ ΣT ,thể xem trong các tài liệu tham khảo [1], [2],[6]. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày ⎪u x,0 = u x , x ∈ Ω .các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của lớp ⎩ ( ) 0( ) 0phương trình parabolic nửa tuyến tính trên với f ∈ L1 (QT ) và u0 ∈L1 ( Ω0 ) .miền thay đổi theo thời gian với các điều kiện Xét hàm a : QT × + × d → d thỏa mãntrong L1 . một số điều kiện tăng trưởng sao cho2. NỘI DUNG CHÍNH ∇ ⋅ a ( x,t,∇u ) bao hàm cả trường hợp toán tử 2.1. Đặt bài toán Laplacian Δu hoặc p-Laplacian ∇ ⋅ ∇u ( p−2 ∇u ) Cho trước một miền bị chặn Ω0 ⊂ , d với mỗi 1 < p ≠ 2 . Cụ thể, giả sử d ≥ 1, với biên ∂Ω0 trơn. Giả sử a : QT × ( 0, T ) × d → d là hàm Carathéodory ν : × d → d là một trường vectơ trơn và thỏa mãn:có giá compact, ζ : × d → d là dòng (A1) Với mọi ( x,t ) ∈QT và ξ , ξ ∈ d thìtương ứng với trường vectơ ν được địnhnghĩa bởi ( a ( x,t,ξ ) − a ( x,t,ξ ))(ξ − ξ ) ≥ 0 và a ( x,t,0 ) = 0 . ∂ tζ ( x, t ) = ν ( t , ζ ( x, t ) ) , ζ ( x0 , 0 ) = x0 , 2d + 1 (A2) Tồn tại p > sao cho vớivới mọi x0 ∈ d . Ta có chú ý rằng, với mỗi x d +1cho trước, ánh xạ là một đường ( x,t ) ∈Q T và ξ ∈ d thì a ( x,t,ξ ) ≤ ζ ( x,t ) + K ξ ...