Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải toán THPT - Nguyễn Minh Tiên

Hệ phương trình là một trong những nội dung trọng tâm trong chương trình đại số phổ thông. Đặc biệt đây cũng là một bộ phận hữu cơ trong cấu trúc đè thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng môn Toán. Để giải Hệ phương trình chúng ta có khá nhiều phương pháp. Trong những phương pháp ấy phương pháp sử dụng tính chấy đơn điệu của hàm số là một phương pháp mới, tích hợp nhiều kiến thức, kĩ năng, thực tế đã xuất hiện nhiều trong đề thi tuyển sinh Đại học những năm gần đây. Có thể nói đây là một kĩ thuật đột phá, nhạy bén mặc dù kiến thức sử dụng hết sức cơ bản, thuần tuý. Bài viết này nhằm chia sẻ với các bạn một số ý tưởng và kinh nghiệm xử lí lớp bài toán thú vị này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải toán THPT - Nguyễn Minh TiênMaths287SÁNG KI N VÀ KINH NGHI MNG D NG TÍNH ĐƠN ĐI U C A HÀM SVÀO GI I TOÁN THPTGiáo viên : Nguy n Minh Ti nKI N TH C CƠ B N I. Tính đơn đi u c a hàm sHàm s y = f (x) g i là đ ng bi n ( tăng ) trong kho ng (a; b) n u v i m i x1 ; x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ). Hàm s y = f (x) g i là ngh ch bi n ( gi m ) trong kho ng (a; b) n u v i m i x1 ; x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thì f (x1 ) > f (x2 ).2. Đi u ki n đ hàm s đơn đi u trên m t kho ng Gi s hàm s y = f (x) có đ o hàm trong kho ng (a; b)N u f (x) < 0 v i m i x ∈ (a; b) và f (x) liên t c trên đo n [a; b] thì hàm s y = f (x) ngh ch bi n trên [a; b] II. Các tính ch t và đ nh lý 1. Đ nh lýN u hàm s y = f (x) đơn đi u và liên t c trên kho ng D thì ta có v i m i x, y ∈ D : f (x) = f (y) ⇔ x = yN2. Các b đ và tính ch t N u hàm s y = f (x) đơn đi u và liên t c trên kho ng D thì phương trình f (x) = 0 có nhi u nh t m t nghi m thu c D N u hai hàm s y = f (x) và y = g (x) liên tucj và đơn đi u ngư c chi u trên kho ng D thì phương trình f (x) = g (x) có nhi u nh t m t nghi m trên kho ng D N u hàm s y = f (x) liên t c và đ ng bi n ( ngh ch bi n ) trên kho ng (a; b) thì v i m i x; y ∈ (a; b) ta có f (x) < f (y) ⇔ x < y (x > y)guynMinN u f (x) > 0 v i m i x ∈ (a; b) và f (x) liên t c trên đo n [a; b] thì hàm s y = f (x) đ ng bi n trên [a; b]hHàm s y = f (x) ngh ch bi n trong kho ng (a; b) ⇔ f (x) ≤ 0 v i m i x ∈ (a; b) và f (x) = 0 ch x y ra t i m t s h u h n đi m trong kho ng (a; b)TiHàm s y = f (x) đ ng bi n trong kho ng (a; b) ⇔ f (x) ≥ 0 v i m i x ∈ (a; b) và f (x) = 0 ch x y ra t i m t s h u h n đi m trong kho ng (a; b)n-mHàm s y = f (x) đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên kho ng (a; b), ta nói hàm s y = f (x) đơn đi u trên kho ng (a; b).at hs 28 71. Đ nh nghĩaGiáo viên : Nguy n Minh Ti n - 0916.625.2261Maths287SÁNG KI N VÀ KINH NGHI MNG D NG TÍNH ĐƠN ĐI U VÀO GI I TOÁN 1. ng d ng tính đơn đi u vào gi i phương trình và b t phương trìnhM t s d ng phương trình bi n đ i thư ng g p √ D ng 1 : x3 − b = a. 3 ax + b v i a > 0 √ Phương trình ⇔ x3 + ax = (ax + b) + a. 3 ax + b√ D ng 2 : ax3 + bx2 + cx + d = m. 3 ex + f√ Phương trình ⇔ m (px + u)3 + n (px + u) = m (ex + f ) + n 3 ex + f Xét hàm đ c trưng f (t) = mt3 + nt √ D ng 3 : ax2 + bx + c = α ex + d√ Phương trình ⇔ m (px + u)2 + n (px + u) = m (ex + d) + n ex + dx3 + 3x2 + 4x + 2 = (3x + 2)n T i in h1 3 √ 3x + 1 ⇔ x + 1 = √ = (−3x) 2 + √ t2 + 3 v i t ∈ RVí d1 : Gi i phương trình√ 3x + 1 ( HSG - Qu ng Bình - 2010) √ 3x + 1 ⇔ x=0 x=1 √ 9x2 + 3 = 0 (−3x)2 + 3 (*)Xét hàm đ c trưng f (t) = mt2 + nt v i t ≥ 0L i gi i : Đi u ki n xác đ nh : x ≥ −Xét hàm đ c trưng f (t) = t3 + t v i t ≥ 0 Ta có f (t) = 3t2 + 1 > 0 v i m i t ≥ 0 suy ra hàm s đ ng bi n trên [0; +∞)Ví dNK t h p v i đi u ki n ta có phương trình có hai nghi m phân bi t x = 0; x = 1 2 : Gi i phương trình (2x + 1) 2 + L i gi i : Ta có pt ⇔ (2x + 1) 2 + (2x + 1)2 + 3 4x2 + 4x + 4 + 3x 2 +Xét hàm đ c trưng f (t) = t 2 +guMà phương trình có d ng f (x + 1) = fynM√ Ta có pt ⇔ (x + 1)3 + (x + 1) = [(3x + 1) + 1] 3x + 1 √ √ 3 ⇔ (x + 1)3 + (x + 1) = 3x + 1 + 3x + 1mat hs 28 72Xét hàm đ c trưng f (t) = t3 + atGiáo viên : Nguy n Minh Ti n - 0916.625.226Maths287 √SÁNG KI N VÀ KINH NGHI M t2 > 0 v i m i t ∈ R suy ra f (t) đ ng bi n trên R t2 + 3 1 5Ta có f (x) = 2 +t2 + 3 + √Phương trình có d ng f (2x + 1) = f (−3x) ⇔ 2x + 1 = −3x ⇔ x = − V y phương trình có nghi m duy nh t x = − Ví d 3 : Gi i phương trình 1 5 √ 3Nh n xét : Ta đưa hai v c a phương trình v d ng f [g (x)] = f [h (x)] trong đó f (t) là hàm đ c trưng có d ng f (t) = mt3 + nt. Ta c n đ ng nh t sao cho bi u th c v ph i c a phương trình có d ng √ √ 3 m 3 3x − 5 + n 3 3x − 5 và so v i v ph i ta có th ch n luôn n = 1 √ √ 3 Công vi c còn l i là tìm các h s sao cho m (px + u)3 + (px + u) = m 3 3x − 5 + 3 3x − 5Đ ng nh t hai v ta đư c u = −3. K t qu ra ch n nên chúng ta không c n xét trư ng h p còn l iinL i gi i tham kh o :hXét hàm đ c trưng f (t) = t3 + t trên t p R Ta có f (t) = 3t2 + 1 > 0 v i m i t ∈ R suy ra hàm đ ng bi n trên R √ √ Nên ta có phương trình tr thành f (2x − 3) = f 3 3x − 5 ⇔ 2x − 3 = 3 3x − 5 √ 3 − 36x2 + 51x − 22 = 0 ⇔ x = 2; x = 5 ± 3 ⇔ 8x 4 Ví dNgu4 : Gi i phương trình x3 − 6x2 + 12x + 7 = √ 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 ( Đ đ ngh Olympic 30/4/2009 )Ý tư ng : Cũng gi ng như ví d trên chúng ta đưa phương trình v d ng √ m (px + u)3 + n (px + u) = m −x3 + 9x2 − 19x + 11 + n 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 ⇔ mp3 + m x3 + 3mup2 − 9m x2 + 3mpu2 + p + 19m x + mu3 + u − 11m = Giáo viên : Nguy n Minh Ti n - 0916.625.226 √ 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 3ynMPhương trình ⇔ (2x − 3)3 + (2x − 3) =√ 3T3N u m = 1; p = 2 thì f (t) = t3 + t do đó phương trình c n vi t v d ng √ √ 3 m (px + u)3 + (px + u) = m 3 3x − 5 + 3 3x − 5 √ √ 3 ⇔ (2x + u)3 + (2x + u) = 3 3x − 5 + 3 3x − 5 √ ⇔ 8x3 + 12ux2 + 6u2 − 1 x + u3 + u + 5 = 3 3x − 53x − 5i+ √ 3n3x − 5-mD th y (2x)3 = 8 nên ta có mp3 = 8 vì m, p thư ng là các s nguyên nên ta có th ch n m = 1; p = 2 ho c m = 8; p = 1at hs 28 78x3 − 36x2 + 53x − 25 =3x − 5Maths287SÁNG KI N VÀ KINH NGHI M   mp3 + m = 1    p=1    3mp2 u − 9m = −6  1 Đ ng nh t hai v theo phương trình ta đư c ⇔ m=  3mpu2 + p + 19m = 12  2      u = −1  mu3 + u − 11m = −7 L i gi i tham kh o : Phương trình ⇔ √ 1 1 (x − 1)3 + (x − 1) = −x3 + 9x2 − 19x + 11 + 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 2 23 Ta có f (t) = t2 + 1 > 0 v i m i t suy ra hàm đ ng bi n trên R 2 √ Phương trình có d ng f (x − 1) = f 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 ⇔x−1= √ 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 ⇔ x = ...