Số nguyên Gauss

Một số nguyên Gauss là một số phức với phần thực và phần ảo đều là các số nguyên. Tập các số nguyên Gauss là một miền nguyên, thường được ký hiệu là Z[i].Các số nguyên Gauss là các điểm nguyên trên mặt phẳng phức Như vậy, các số nguyên Gauss là tập hợpChuẩn của số nguyên Gauss là số tự nhiên xác định bằng N(a + bi) = a2 + b2. Chuẩn có tính chất nhân, nghiã là N(z·w) = N(z)·N(w). Đơn vị của Z[i] là tất cả các phần tử có chuẩn bằng 1, nghĩa là gồm các...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Số nguyên Gauss Số nguyên GaussMột số nguyên Gauss là một số phức với phần thực và phần ảo đều làcác số nguyên. Tập các số nguyên Gauss là một miền nguyên, thườngđược ký hiệu là Z[i].Các số nguyên Gauss là các điểm nguyên trên mặt phẳng phứcNhư vậy, các số nguyên Gauss là tập hợpChuẩn của số nguyên Gauss là số tự nhiên xác định bằng N(a + bi) = a2 + b2.Chuẩn có tính chất nhân, nghiã là N(z·w) = N(z)·N(w).Đơn vị của Z[i] là tất cả các phần tử có chuẩn bằng 1, nghĩa là gồm cácphần tử 1, −1, i và −i.Nếu g là số Gauss, thì các số sau được gọi là số liên kết (tiếng Anh làassociate)với nó: g, -g, ig, -ig.Số nguyên tố GaussCác phần tử nguyên tố của Z[i] cũng được gọi là các số nguyên tốGauss. Số nguyên tố Gauss không thể có ước nào khác ngoài các đơn vịcủa Z[i] và các liên kết của nó. Nói một cách khác, số nguyên Gauss gnguyên tố khi và chỉ khi g không thể phân tích thành tích của các sốnguyên Gauss p và q với chuẩn |p|>1 và |q|>1.Một số nguyên Gauss a+bi được gọi là số nguyên tố nếu và chỉ nếu nóthỏa mãn một trong các tiêu chuẩn sau: a=0 và |b| là số nguyên tố có dạng 4k+3;  b=0 và |a| là số nguyên tố có dạng 4k+3;  a và b đều khác 0 và a2 + b2 là một số nguyên tố. Một vài số nguyên tố thông thường (đôi khi để phân biệt, chúng đượcgọi là các số nguyên tố hữu tỷ) không phải là các số nguyên tố Gauss;chẳng hạn 2 = (1 + i)(1 − i) và 5 = (2 + i)(2 − i). Các số nguyên tố hữu tỷđồng dư với 3 (mod 4) là số nguyên tố Gauss; còn các số nguyên tố hữutỷ đồng dư 1 (mod 4) thì không. Đó là vì số nguyên tố dạng 4k + 1 luôncó thể viết dưới dạng tổng của hai bình phương (định lý Fermat về tổngcủa hai số chính phương), do đó ta có p = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi).Nếu chuẩn của số nguyên Gauss z là một số nguyên tố, thì z cũng là sốnguyên tố Gauss, vì mọi ước không tầm thường của z cũng là ước khôngtầm thường của chuẩn. Chẳng hạn 2 + 3i là một số nguyên tố Gauss vìchuẩn của nó là 4 + 9 = 13.Phép chia Euclid Cho 2 số nguyên Gauss a và b, khi đó tồn tại các số nguyên q và r sao cho: a = b.q + r với N(r)