sử dụng đạo hàm để giải bất phương trình

BÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM) Bài 1: Giải phương trìnhx x2 2 + 32 = 2 x + 3 x +1 + x + 1Giải: Ta có f ( x) = 2 x + 3 x + x tăng trên R, nên phương trình tương đươngf (2 x ) = f ( x + 1) ⇔ 2 x = x + 1 Hàm số g ( x) = 2 x − ( x + 1) xác định trên Rg / ( x) = 2 x ln 2 − 1 ⇒ g / (...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
sử dụng đạo hàm để giải bất phương trìnhBÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM)Bài 1: Giải phương trình 2 2 + 32 = 2 x + 3 x +1 + x + 1 x xGiải:Ta có f ( x) = 2 x + 3 x + x tăng trên R, nên phương trình tương đương f (2 x ) = f ( x + 1) ⇔ 2 x = x + 1Hàm số g ( x) = 2 x − ( x + 1) xác định trên R g / ( x) = 2 x ln 2 − 1 ⇒ g / ( x) ≥ 0 ⇔ x ≥ log 2 (log 2 e )Vậy phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm trên (− ∞ ; log 2 (log 2 e) ) v (log 2 (log 2 e) ; + ∞ )Thử trực tiếp tìm được hai nghiệm là x = 0 ; x = 1Bài 2: Giải phương trình log 5 ⎛ x − 2 x − 1 + x + 3 − 4 x − 1 ⎞ = 5 x−2 x−1 + x+3−4 x−1 −1 − 1 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠Giải :Điều kiện x ≥ 1 .Đặt t = x − 2 x − 1 + x + 3 − 4 x − 1 − 1 ≥ 0 (chứng minh)phương trình tương đương log 5 (t + 1) = 5 t − 1 ⎧5 t = y + 1 ⎧ ⎧5 t = t + 1 5t = y + 1 ⎪⇔⎨ y ⇔⎨ t ⇔⎨ ⇔t=0 ⎩5 = t + 1 ⎪5 − 5 y = y − t (*) ⎩ y=t ⎩⇔ x − 2 x −1 + x + 3 − 4 x −1 −1 = 0⇔2≤ x≤5Bài 3: Giải phương trình 13 4 x= 2 x − 4 x 2 + 24 x − 4 2Giải :⇔ x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 + 12 x − 2 = 0Xét hàm số y = x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 + 12 x − 2 ⇒ y / = 4 x 3 − 12 x 2 − 4 x + 12Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số có trục đối xứng x =1Do đó đặt x = X + 1 , ta có phương trình ⎡ x = 1 ± 4 − 11 X 4 − 8X 2 + 5 = 0 ⇔ ⎢ ⎢ x = 1 ± 4 + 11 ⎣Bài 4: Giải phương trình ( ) (1 + cos x) 2 + 4 cos x = 3.4 cos xGiải :Đặt cos x = y −1 ≤ y ≤ 1 ( ) = 3.4 y y⇔ (1 + y ) 2 + 4 3.4 y 6. ln 4.4 yĐặt f ( y ) = − y − 1 ⇒ f / ( y) = −1 ( ) 2 + 4y 2 2 + 4y Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn ( ) 2f / ( y ) = 0 ⇔ 16. ln 4.4 y = 2 + 4 yĐây là phương trình bậc hai theo 4 y , nên có không quá 2 nghiệm. Vậy theo định lý Roollephương trình f ( y ) = 0 có không quá 3 nghiệm. 1 , y = 1 là 3 nghiệm của phương trình f ( y ) = 0Ta có y = 0 , y = 2 π 2πSuy ra phương trình có nghiệm x = k 2π , x = + kπ , x = ± + k 2π 2 3Bài 5: Giải phương trình 4x 2 + 2 = x 6 − 3x 2 − 1 log 2008 x + x +1 6 2Giải : 6 2 2008 x + x +1 4x 2 + 2 ⇔ x 6 + x 2 + 1 = 4 x 2 + 2 vì hàm số f ( x) = x.2008 x tăng trên R = 4 x2 +2x + x +1 6 2 2008Giải phương trình x 6 − 3 x 2 − 1 = 0 ⇔ u 3 − 3u − 1 u ≥ 0 phương trình chỉ có nghiệm trong (0,2) π 1Đặt u = 2 cos t 0 < t < ⇒ cos 3t = 2 2 πSuy ra phương trình có nghiệm x = ± 2 cos 9Bài 6: Giải phương trình sin x cos x ⎛5⎞ ⎛5⎞ = sin x.⎜ ⎟ cos x.⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠Giải : kπCosx = 0 và sinx = 0 không là nghiệm . Xét x ≠ 2 sin x cos x ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ 2 2⇔⎝ ⎠ =⎝ ⎠ sin x cos x t ⎛5⎞ ⎜⎟ 2Xét hàm số f (t ) = ⎝ ⎠ t < 1 , t ≠ 0 . Hàm số f (t ) nghịch biến t π + kπSuy ra sin x = cos x ⇔ x = 4Bài 7: Giải phương trình x 2 + 4x + 5 ...