Sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn

Bài viết "Sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn" giới thiệu với các em học sinh phương pháp tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa đạo hàm. Hy vọng sẽ giúp các em học sinh có một con đường tươi mới để tìm giới hạn, đặc biệt là các bài toán khó về giới hạn trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạnSỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ1.Đặt vấn đề Chúng ta đã biết,định nghĩa Đạo hàm được xây dựng dựa vào giới hạn của hàmsố.Bản chất Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 chính là giá trị của giới hạn f ( x) - f ( x0 )dạng lim = (1). Do đó để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm ta phải tìm x® x 0 x - x0giới hạn (1).Trong bài viết này, tôi xin giới thiệu đến các em học sinh con đườngngược lại.Tức là để tìm giới hạn ta lại đi tính đạo hàm .Đạo hàm là một lĩnh vực quantrọng của giải tích thể hiện ở rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán THPT. Đạo hàmđược giảng dạy ở cuối lớp 11, ngay sau chương giới hạn, rồi xuyên suốt chương trìnhlớp 12 và ôn thi đại học, cao đẳng.Bên cạnh các phương pháp tìm giới hạn hàm sốthông thường, tôi muốn giới thiệu một phương pháp nữa: tìm giới hạn hàm số bằngđịnh nghĩa đạo hàm . Việc giải bài toán giới hạn hàm số bằng nhiều cách giúp rèn luyện tư duy khoahọc, tính logic và hệ thống cũng như tăng cường kỹ năng thực hành của họcsinh.Phương pháp này hy vọng sẽ giúp cho các em học sinh có một con đường mới đểtìm giới hạn, đặc biệt là các bài toán khó về giới hạn trong các kỳ thi học sinh giỏi cấptỉnh.2. Giải quyết vấn đề*Cơ sở lý luận của vấn đề 1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng f ( x) - f ( x0 )(a; b) và x0 Î (a; b) . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của lim thì giới hạn đó x ® x0 x - x0được gọi là đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại x0 Î(a; b) , kí hiệu là f (x0) . f ( x) - f ( x0 ) Tức là xlim = f ( x0 ) . ®x 0 x - x0 2. Đạo hàm của hàm số dạng y = f ( x) = n u ( x) là u ( x) u ( x) y = f ( x) = ( n u ( x)) = = n n (u ( x)) n -1 n n (u ( x)) n -1*Cơ sở thực tế của vấn đề Lứa tuổi học sinh THPT là lứa tuổi thích tìm tòi khám phá.Học sinh khá giỏithích tìm nhiều lời giải cho một bài toán, học sinh trung bình thích có quy tắc giảichung cho một lớp bài toán để dễ nhớ, dễ sử dụng. Bài viết này nhằm đáp ứng mộtphần nhu cầu trên. Nếu việc phải nhớ các biểu thức liên hợp, việc nhân, chia,cộng, trừchúng,thêm bớt các biểu thức phù hợp, công thức nhị thức Newton,…là nặng nề thìhọc sinh chỉ phải dùng định nghĩa đạo hàm. Giáo viên: Đoàn Minh Kế 1 Trường THPT số 1 Quảng TrạchSỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ*Nội dung Bài 1 Tìm các giới hạn sau: 1 + x -1 1 + x -1 3 4 1 + x -1 1) lim x ®0 2) lim x ®0 3) lim x ®0 x x x n 1 + x -1 n 1 + ax - 1 4) lim x ®0 5) lim x ®0 x x GiảiTa nhận thấy các câu trên đều có thể dùng biểu thức liên hợp để trục căn thức, sau đóphân tích thành nhân tử và thu gọn đưa về dạng xác định để tính. Tuy nhiên, với đa sốhọc sinh thì việc tìm liên hợp của các câu số 3,4,5 không đơn giản. Ở đây, cần chỉ chohọc sinh thấy sự tương tự trong các câu trên của dạng biểu thức cần tính giới hạn, đó f ( x) -1là dạng lim x ®0 . Phân tích kỹ hơn ta thấy 1 = f (0) và mẫu thức chính là hiệu x - x0 xvới x0 = 0 . f ( x) - f ( x0 ) Như vậy các câu trên đều là việc tính giới hạn dạng xlim = f ( x0 ) , nói ...