SỬ DỤNG HÀM NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN THỐNG KÊ

C3. HÀM NHIỀU BIẾN1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x.C3. HÀM NHIỀU BIẾNKhoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn)Rn:n d( x, y ) (...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SỬ DỤNG HÀM NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN THỐNG KÊ C3. HÀM NHIỀU BIẾN1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢNKhông gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắpxếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi  R, i = 1,.. n)được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n -chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi  R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. 1 C3. HÀM NHIỀU BIẾNKhoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn) Rn: n 2 d( x, y )   ( xi  yi ) i1Một số tính chất của d: a) d(x,y)  0; d(x,y) = 0  xi = yi, I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y) 2 C3. HÀM NHIỀU BIẾNLân cận: Cho x0Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0.Điểm trong: Điểm x0Rn được gọi là điểm trong củaD  Rn nếu D chứa một lân cận của x0.Điểm biên: Điểm x0  Rn được gọi là điểm biên của D Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất cácđiểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của Dđược gọi là biên của D.Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D.Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. 3 C3. HÀM NHIỀU BIẾNHàm 2 biến: D  R2, một ánh xạ f: D  R, được gọi làhàm số 2 biến. Ký hiệu: f : ( x, y )  z  f ( x, y )• D: miền xác định• f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trịVí dụ: Tìm miền xác định: z  1  x2 y2 z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1)Hàm n biến: D  Rn, một ánh xạ f: D  R được gọi làhàm số n biến. Ký hiệu: f : ( x1, x 2,...xn )  z  f ( x1, x 2,...xn ) 4 C3. HÀM NHIỀU BIẾN2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐGiới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cậnM0(x0,y0), có thể không xác định tại M0. Số thực L đượcgọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu:  > 0,  > 0: d(M,M0) <  => f(M) – L <  d(M, M0 )  (x - x0 )2  (y - y 0 )2 lim f ( x, y )  L lim f (M)  L lim f ( x, y )  L x  x0MM0 ( x,y )( x0 ,y 0 ) y  y0 5 C3. HÀM NHIỀU BIẾN• Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự nhưđối với hàm số một biến.• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối vớihàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. sin( x 2  y 2 ) xy limVí dụ: lim x2  y2 x2  y2 ( x,y ) ( 0,0 ) ( x,y )( 0,0 ) 6 C3. HÀM NHIỀU BIẾNLiên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) ( x,y )( x 0 ,y0 )Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bịchặn trên D  R2 thì:• Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M• f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên DTương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tụccủa hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 7 C3. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM RIÊNGĐịnh nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D,M0(x0,y0)  D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số mộtbiến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàmriêng của f đối với x tại M0. Ký hiệu: f z fx ( x0 , y0 ), ( x 0 , y 0 ), ( x0 , y0 ) x xĐặt xf = f(x0 + x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0. xf fx  lim  x  0 x 8 C3. HÀM NHIỀU BIẾNTương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của ftheo biến y. yf fy  lim y 0 yTương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biếnsố (n3).Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: 4 32 4 z  x  5 x y  2y u  xy 9 C3. HÀM NHIỀU BIẾNĐạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạohàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồntại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2.   f   2f   f   2f  fyx ( x, y )   2  fxx ( x, y )   y  x  yx x  x  x   f   2f   f   2f  fxy ( x, y )  fyy ( x, y )     x  y  xy y  y  yyTương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… 10 C3. HÀM NHIỀU BIẾNĐịnh lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tạiM0 thì fxy = fyx tại M0. Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêngcấp cao h ...