Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán: Phương trình hàm

Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm. Mời các bạn cùng tham khảo Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi về phương trình hàm để mở mang kiến thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán: Phương trình hàm PHƯƠNG TRÌNH HÀM M t trong nh ng chuyên ñ r t quan tr ng trong vi c b i dư ng h c sinh gi i d thi h c sinh gi i toán qu c gia, khu v c và qu c t , ñó là phương trình hàm, b t phương trình hàm. Có r t nhi u tài li u vi t v chuyên ñ này. Qua m t s năm b i dư ng h c sinh gi i d thi h c sinh gi i toán qu c gia và qua m t s kì t p hu n hè t i ð i h c khoa h c t nhiên – ð i h c qu c gia Hà N i, chúng tôi rút ra m t s kinh nghi m d y v chuyên ñ này và trao ñ i v i các ñ ng nghi p. Ph n I: NH C L I NH NG KHÁI NIÊM CƠ B N1. Nguyên lý Archimede H qu : ∀x ∈ ¡ ⇒ ∃!k ∈ ¢ : k ≤ x < k + 1 . S k như th g i là ph n nguyên c a x, kí hi u [x] V y : [ x ] ≤ x < [ x] + 12. Tính trù m t T p h p A ⊂ ¡ g i là trù m t trong ¡ ⇔ ∀x, y ∈ ¡ , x < y ñ u t n t i a thu c A sao cho x Tính ch t 2: a ≤ α , ∀a ∈ A α = sup A ⇔  ∀ε > 0, ∃a ∈ A : α − ε < a a ≥ β , ∀a ∈ A β = infA ⇔  ∀ε > 0, ∃a ∈ A : β + ε > a 4. Hàm sơ c p Hàm s sơ c p cơ b n là các hàm lũy th a, hàm s mũ, hàm s logarit, hàm s lư ng giác, hàm s lư ng giác ngư c. Hàm s sơ c p là nh ng hàm ñư c t o thành b i h u h n các phép toán s h c ( +, - , x, : ), phép toán l y hàm h p ñ i v i các hàm s sơ c p cơ b n.5. Hàm c ng tính, nhân tính trên m t t p h p Hàm s f(x) ñư c g i là c ng tính trên t p xác ñ nh D n u v i m i x, y ∈ D thì x + y ∈ D và f(x + y) = f(x) + f(y). Hàm s f(x) ñư c g i là nhân tính trên t p xác ñ nh D n u v i m i x, y ∈ D thì x . y ∈ D và f(x . y) = f(x) . f(y). N u v i m i x, y ∈ D mà x+y ∈ D , x – y ∈ D và f( x – y) = f(x) – f(y) thì f(x) cũng g i là m t hàm c ng tính trên D. Hàm f(x) = ( là hàm nhân tính.6. Hàm ñơn ñi u • Hàm s f(x) g i là tăng trên (a, b) n u : V i m i x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) • Hàm s f(x) g i là gi m trên (a, b) n u : V i m i x1 , x2 ∈ (a, b), x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) Ph n II. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯ NG DÙNG Phương pháp 1: H s b t ñ nh. T p chí toán h c trong nhà trư ng, s 8 – 2004 trang 62 – 66 (b n ti ng Nga) Nguyên t c chung: D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho c f(x) = ax2+ bx +c ð ng nh t h s ñ tìm f(x) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán. Phương pháp d n bi n Bài 1: Tìm f: ¡ → ¡ sao cho: ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 4 xy.( x 2 − y 2 ), ∀x, y ∈ ¡ http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí Gi i:  u+v u = x + y  x = 2ð t  ⇒ v = x − y y = u − v   2⇒ vf (u ) − uf (v) = (u − v )uv 2 2 f (u ) 2 f (v) 2⇒ −u = − v , ∀u, v ≠ 0 u vCho v = 1 ta có: f (u ) f (1) 2 − u2 = − 1 , ∀u ≠ 0 u 1⇒ f (u ) = u 3 + au , ∀u ≠ 0 (a = f(1) – 1)Cho x = y = 0 ta có 2f(0) = 0 do ñó f(0) = 0K t lu n f ( x) = x3 + ax, ∀x ∈ ¡  x −1  1 Bài 2: f ( x − 1) − 3 f   = 1 − 2 x, ∀x ≠  1− 2x  2 Gi i : x −1 y 1− y ð t: = y −1 ⇒ x = ⇒ x −1 = 1− 2x 2 y −1 2 y −1  1− y  −1 1 ⇒ f  − 3 f ( y − 1) = , ∀y ≠  2 y −1  2 y −1 2  x −1  −1 1 ⇒ f  − 3 f ( x − 1) = , ∀x ≠  1 − 2x  2x −1 2   x −1  1  f ( x − 1) − 3 f  1 − 2 x  = 1 − 2 x, ∀x ≠ 2    ⇒ ⇒ f  x − 1  − 3 f ( x − 1) = −1 , ∀x ≠ 1      1 − 2x  2x −1 2 3 ⇒ −8 f ( x − 1) = 1 − 2 x + 1 − 2x 1 3  1 ⇒ f ( x − 1) =  −1 + 2 x +  , ∀x ≠ 8 2x −1  2 1 3  1 ⇒ f ( x) = 1 + 2 x +  , ∀x ≠ 2 8 2x +1  Ví d 1: ða th c f(x) xác ñ nh v i ∀x ∈ ¡ và th a mãn ñi u ki n: 2 f ( x) + f (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ¡ (1) . Tìm f(x) Gi i: Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t : x, 1 – x v ph i là b c hai x2. V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c http://ebook.here.vn – Thư vi n sách mi n phí Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ ¡ do ñó: 3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ ¡ ð ng nh t các h s , ta thu ñư c:  1 a = 3 3a = 1    2 b − 2a = 0 ⇔ b = a + b + 3c = 0  3   1 c = − 3 ...