Tài liệu Chương 3: Không gian vectơ

Mời các bạn cùng nắm bắt những kiến thức về khái niệm không gian vectơ; không gian vectơ; sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính thông qua tài liệu Chương 3: Không gian vectơ sau đây. Đặc biệt, với những bài tập được đưa ra ở cuối tài liệu sẽ giúp cho các bạn nắm bắt kiến thức này một cách tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu Chương 3: Không gian vectơ Chương3:khônggianvectơI:KháiniệmKhônggianvectơ1.Địnhnghĩa:TanóitậphợpVlàmộtkhônggianvectơ trêntrườngK,haymộtkhônggianvectơ,nếuVđượctrangbịmộtphéptoánđạisố(gọilàphépcộng),kýhiệu(+)vàmộtphépnhânvôhướng,kýhiệu(.)thỏa mãncácđiềukiệnsau: 1. Tínhgiaohoáncủaphépcộng: ∀( x, y ) �V , x + y = y + x ; 2 2. Tínhkếthợpcủaphépcộng: ∀( x, y, z ) �V , ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ; 3 3. TồntạitrongVmộtphầntửkhông,kýhiệulà0thỏamãn: ∀x �V , x + 0 = x; 4. ∀x V , tồntạimộtphầntửđối,kýhiệulà − x thỏamãn: x + (− x) = 0; 5. ∀( x, y ) �V 2 , ∀α �K , α ( x + y ) = α x + α y; 6. ∀x �V , ∀ ( α , β ) �K 2 , (α + β ) x = α x + β x; 7. ∀x �V , ∀ ( α , β ) �K 2 , (αβ ) x = α (β x); 8. ∀x �V ,1x = x.2:Khônggianvectơcon1.Địnhnghĩa: ChoVlàmộtKkhônggianvectơvàWlàmộttậpconkhácrỗngcủaV.KhiđóWđượcgọilàmộtkhônggianvectơconcủaVnếuWlàmộtKkhônggianvectơứngvớinhữngphéptoán(+)và(.)củaVkhitahạnchếchúnglênW.2.Địnhlý: Tậpcon W củakhônggianvectơVlàmộtkhônggianconcủaVkhi vàchỉkhicácđiềukiệnsauđâyđượcthỏa: i) ∀x, y �W 2 , x + y �W ; ii) ∀α �K , ∀x �� W ,α x W .Nhậnxét:Haiđiềukiệni)vàii)ởtrêncóthểđượcthaythếbằngđiềukiệnsau: ∀α �ﾡ , ∀( x, y ) �W 2 , α x + y �W .Đểchứngminhmộttậphợpkhácrỗnglàkhônggianvectorthìcóhaicáchhoặcchứngminhtậphợpnàyvớihaiphéptoáncộngvànhânvôhướngthỏacáctiênđềcủakhônggianvector;hoặcchứngminhrằngtậphợpđólàkhônggianvectorconcủamộtkhôngvectorkhác.II:Sựđộclậptuyếntínhvàphụthuộctuyếntính1.Tổhợptuyếntính:1.1Địnhnghĩa:ChoVlàmộtkhônggianvectơtrêntrườngKvà v1 , v2 ,..., vnlàcácphầntửcủaV.Tanóivectơ v làtổhợptuyếntínhcủacácvectơv1 , v2 ,..., vn nếutồntạicácvôhướng α1 , α 2 ,..., α n Ksaochov = α1v1 + α 2 v2 + ... + α n vn .2.Hệvectorđộclậptuyếntính–Hệvectorphụthuộctuyếntính: 2.1Địnhnghĩa:Họcácvectơ v1 , v2 ,..., vn củakhônggianvectơVtrêntrườngKđượcgọilàphụthuộctuyếntínhnếutồntạicácvôhướngα1 , α 2 ,..., α n Kkhôngphảitấtcảđềubằng0saocho:α1v1 + α 2v2 + ... + α n vn = 0 .Họvectơkhôngphụthuộctuyếntínhđượcgọilàhệđộclậptuyếntính. Vídụ:TrongR4chohệvectơ α1 = (1, 0,1,1); α 2 = (0,1, 2,3); α 3 = (1, 2,3, 4) .Hệtrênđộclậptuyếntínhhayphụthuộctuyếntính? Giải: Xéthệphươngtrìnhvectơ: x1 + x3 = 0 x2 + 2 x3 = 0 x1α1 + x2α 2 + x3α 3 = 0 . x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 x1 + 3 x2 + 3 x3 = 0 1 � 0 1� � � 0 1 2� Tacómatrậncáchệsốcủahệtrênlà A = � � vàrankA=3,nên 1 2 3� � � 1 � 3 4�hệphươngtrìnhtrêncónghiệmduynhất(0,0,0).Dođó,hệcácvectơtrênđộclậptuyếntính.III.BÀITOÁNĐỔICƠSỞ3.1:vídụ: 1)TrongR3,chocơsởBvớicácvectơ u1 , u2 , u3 lầnlượtcótọađộsau:u1 = (1,1, 0); u2 = (1, 0,1); u3 = (0,1,1) . HãylậpmatrậnvàcôngthứcđổitừcơsởchínhtắcCsang 1. cơsởB. 2. Tìmtọađộcủau=(5,4,3)€R3trongcơsởB. 3. Tìmvectơv€R3,biếttọađộcủavectơvtrongcơsởBlà v[ B ] = (1, 2,3) . Giải: 1)TacócơsởchínhtắcCcủaR3làcơsởgồmcácvectơe1 = (1, 0, 0); e2 = (0,1, 0); e3 = (0, 0,1) .Khiđó, 1 �� 1 �� 0 �� [u1 ][C ] �� = �� �� 1 ;[u2 ][ C ] = �� �� 0 ;[u3 ][C ] = �� 1 .Dođó,matrậnđổitừcơsởchínhtắc �� 0 �� �� 1 �� ...